第 9 讲 空间中的平行与垂直关系题型 1 空间位置关系的判断与证明(对应学生用书第 30 页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题 1】 (考查空间位置关系的判断)已知 m，n 为异面直线，m⊥平面 α，n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β 且 l∥αB．α⊥β 且 l⊥βC．α 与 β 相交，且交线垂直于 lD．α 与 β 相交，且交线平行于 l[解析] 根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知 α 与 β 相交，且交线平行于 l，故选 D.[答案] D【 典 题 2 】 ( 考 查 空 间 位 置 关 系 的 证 明 ) 如 图 91 ， 在 三 棱 锥 PABC 中 ，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点．图 91(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面 BDE⊥平面 PAC；(3)当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积．[思路分析] (1)通过证明 PA⊥平面 ABC 得 PA⊥BD；(2)通过证明 BD⊥平面 PAC 得面面垂直；(3)由 PA∥平面 BDE，D 为 AC 的中点得 PA 与 DE 的位置及数量关系，从而求出三棱锥的体积．[解] (1)证明：因为 PA⊥AB，PA⊥BC，且 AB∩BC＝B，所以PA⊥平面 ABC.又因为 BD⊂平面 ABC，所以 PA⊥BD.(2)证明：因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，且 PA∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC，所以平面 BDE⊥平面 PAC.(3)因为 PA∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝DE，所以 PA∥DE.因为 D 为 AC 的中点，所以 DE＝PA＝1，BD＝DC＝.由(1)知，PA⊥平面 ABC，所以 DE⊥平面 ABC，所以三棱锥 EBCD 的体积 V＝BD...
