第 11 讲 直线与圆题型 1 圆的方程(对应学生用书第 38 页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2＋E2－4F＞0，表示以为圆心，为半径的圆．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题 1】 (考查应用圆的几何性质求圆的方程)(2017·山西运城二模)已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2，圆心 C 到直线 l：x－2y＝0 的距离为，且圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 3∶1，则圆 C 的方程为________. 【导学号：07804079】[解析] 设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点 C 到 x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知∴或故所求圆 C 的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 或(x－1)2＋(y－1)2＝2.[答案] (x＋1)2＋(y＋1)2＝2 或(x－1)2＋(y－1)2＝2【典题 2】 (考查待定系数法求圆的方程)(2017·广东七校联考)一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且在直线 y＝x 上截得的弦长为 2，则该圆的方程为________．[思路分析] 法一：利用圆心在直线 x－3y＝0 上设圆心坐标为(3a，a)→利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形列出关于 a 的方程，求解 a 的值→得出圆的方程；法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2→利用条件列出关于 a，b，r 的方程组→解方程组，得出圆的方程；法三：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0→利用条件列出关于 D、E、F 的方程组→解方程组，得出圆的方程．[解析] 法一：(几何法) 所求圆的圆心在直线 x－3y＝0 上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与 y 轴相切，∴半径 r＝3|a|，又所求圆在直线 y＝x 上截得的弦长为 2，圆心(3a，a)到直线 y＝x 的距离 d＝，∴d2＋()2＝r2，即 2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.法二：(待定系数法：标准方程)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则{①由于所求圆与 y 轴相切，∴r2＝a2，②又 所求圆的圆心在直线 x－3y＝0 上，∴a－3b＝0，③联立①②③，解得或故所求圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝9 或(x－3)2＋(y－1)2＝9.法三：(待定系数法：一般方程)设所求的圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F...
