突破点 11 直线与圆[核心知识提炼]提炼 1 圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋y2＝r2.(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2＋E2－4F＞0，表示以为圆心，为半径的圆.提炼 2 求解直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理．(2)两个公式：点到直线的距离公式 d＝，弦长公式|AB|＝2(弦心距 d).提炼 3 求距离最值问题的本质(1)圆外一点 P 到圆 C 上的点距离的最大值为| PC | ＋ r ，最小值为| PC | － r ，其中 r 为圆的半径．(2)圆上的点到直线的最大距离是 d ＋ r ，最小距离是 d － r ，其中 d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径．(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．[高考真题回访]回访 1 圆的方程1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( )A. B．C. D.A [由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为 a.又直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切，∴圆心到直线的距离 d＝＝a，解得 a＝b，∴＝，∴e＝＝＝＝＝.故选 A.]2．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．2＋y2＝ [由题意知 a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(00)，则解得所以圆的标准方程为 2＋y2＝.]回访 2 直线与圆的相关问题3．(2016·全国卷Ⅱ)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝( )A．－ B．－C. D．2A [由圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离 d＝＝1，解得 a＝－.]4．(2016·全国卷Ⅰ)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2，则圆 C 的面积为________．4π [圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 化为标准方程是 C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心 C(0，a)，半径 r＝，|AB|＝2，点 C 到直线 y＝x＋2a 即 x－y＋2a＝0 的距离 d＝，由勾...
