第 16 讲 导数的应用题型 1 利用导数研究函数的单调性(对应学生用书第 53 页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但 f′(x)≥0.2．f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f′(x)＝0 时，则 f(x)为常函数，函数不具有单调性．3．利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数 f′(x)；(3)① 若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0.② 若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题来求解．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 已知函数 f(x)＝ax2－x＋ln x(a∈R)．(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)∀m>n>0，>1 恒成立，求实数 a 的取值范围. 【导学号：07804112】[思路分析] (1)求 f′(x)―→结合 a 的取值讨论 f(x)的单调区间；(2)>1――――→f(m)－m>f(n)－n―――――→由 g′(x)≥0―――――→求 a 的取值范围．[解] (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－1＋＝.① 当 a＝0 时，f′(x)＝.显然，当 x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减．② 当 a≠0 时，对于 2ax2－x＋1＝0，Δ＝(－1)2－4×2a×1＝1－8a.当 Δ≤0，即 a≥，因为 a>0，所以 2ax2－x＋1≥0 恒成立，即 f′(x)≥0 恒成立，所以函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若 Δ>0，即 0
0，x2<0.当 x∈时，2ax2－x＋1>0，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增；当 x∈时，2ax2－x＋1<0，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减．当 0x1>0.当 x∈时，2ax2－x＋1>0，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增；当 x∈时，2ax2－x＋1<0，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减；当 x∈时，2ax2－x＋1>0，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增．综上，当 a＝0 时，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当 a≥时，函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当 0
