第 1 讲 曲线的切线 1. 曲线的切线及切线方程是高考中的一个重要考点，曲线的切线与直线与二次曲线相切的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切则只有一个公共点．2. 高考中涉及曲线的切线，往往有如下题型：一是直接求切线的方程；二是通过曲线的切线求相关的参数；三是求切点的坐标或公切线等．1. (2018·苏州期中调研)已知曲线 f(x)＝ax3＋ln x 在(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数 a 的值是________．答案：解析：因为 f′(x)＝3ax2＋，所以 f′(1)＝3a＋1＝2，解得 a＝.2. (2018·南通一调)若曲线 y＝xln x 在 x＝1 与 x＝t 处的切线互相垂直，则实数 t的值为________．答案：e－2解析：因为 y′＝1＋ln x，所以当 x＝1 时，y′＝1，当 x＝t 时，y′＝1＋ln t．因为曲线 y＝xln x 在 x＝1 与 x＝t 处的切线互相垂直，所以 1·(1＋ln t)＝－1，得 t＝e－2.3. 已知曲线 y＝－3ln x 的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为________． 答案：3解析：已知曲线 y＝－3ln x(x>0)的一条切线的斜率为，由 y′＝x－＝，得 x＝3(x＝－2 舍去)．4. (2018·淮安期中)已知函数 f(x)＝x3.设曲线 y＝f(x)在点 P(x1，f(x1))处的切线与该曲线交于另一点 Q(x2，f(x2))，记 f′(x)为函数 f(x)的导数，则的值为________．答案： 解析：设点 P(x1，x)，曲线 y＝f(x)在点 P(x1，x)处的切线方程为 y＝3xx－2x，由解得 Q(－2x1，－8x)，所以 x2＝－2x1，所以＝＝., 一) 求切线的方程, 1) 已知点 M 是曲线 y＝x3－2x2＋3x＋1 上任意一点，曲线在 M 处的切线为 l.(1) 求斜率最小的切线方程；(2) 求切线 l 的倾斜角 α 的取值范围．解：(1) y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，所以当 x＝2 时，y′＝－1，y＝，所以斜率最小的切线过点(2，)，斜率 k＝－1，所以切线方程为 3x＋3y－11＝0.(2) 由(1)得 k≥－1，所以 tan α≥－1.因为 α∈[0，π)，所以 α∈[0，)∪[，π)．故 α 的取值范围是[0，)∪[，π)．点评：求切线方程的方法：① 求曲线在点 P 处的切线，则表明点 P 是切点，只需求出函数在点 P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；② 求曲线过点 P 的切线，则点 P 不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．(2018·济南一模)已知曲线 f(x)＝ln x 的切线经...
