第 2 讲 函数的单调性 1. 导数是研究函数性质的重要工具，利用导数研究函数的单调性不仅能直接得出有关结论，同时还能根据性质描绘出函数图象的大致变化趋势，有助于解决问题．2. 函数的单调性研究往往作为试题的一部分，可以研究其单调区间，也可以通过单调性来求参数的值或者范围．1. (2017·常州前黄中学月考)函数 y＝x－2sin x 在(0，2π)内的单调增区间为________．答案：(，)解析：令 y′＝1－2cos x＞0，因为 x∈(0，2π)，解得 x∈(，)．2. (2017·苏州张家港暨阳中学月考)函数 f(x)＝xln x 的减区间是________．答案：(0，]解析：由题意得函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，令 f′(x)＝1＋ln x≤0，得 x≤，故函数 f(x)的减区间为(0，]．3. 若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 k 的取值范围是________．答案：[1，＋∞)解析：依题意得 f′(x)＝k－≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 k≥在(1，＋∞)上恒成立． x>1，∴ 0<<1，∴ k≥1.4. (2018·九江模拟)已知函数 f(x)＝x2＋2ax－ln x，若 f(x)在区间[，2]上是增函数，则实数 a 的取值范围是________．答案：解析：f′(x)＝x＋2a－≥0 在上恒成立，即 2a≥－x＋在上恒成立．因为＝，所以2a≥，即 a≥., 一) 求不含参数的函数的单调性, 1) (2018·常熟中学月考)已知函数 f(x)＝ln x－bx＋c，f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 x＋y＋4＝0.(1) 求 f(x)的解析式；(2) 求 f(x)的单调区间．解：(1) f′(x)＝－b，所以 f′(1)＝1－b.又 f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故 1－b＝－1，b＝2.将(1，f(1))代入方程 x＋y＋4＝0，得 1＋f(1)＋4＝0，解得 f(1)＝－5，所以 f(1)＝－b＋c＝－5，将 b＝2 代入，得 c＝－3，故 f(x)＝ln x－2x－3.(2) 依题意知 x＞0，f′(x)＝－2.令 f′(x)＞0，得 0＜x＜，再令 f′(x)＜0，得 x>，故函数 f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为 .点评：利用导数求函数单调区间的步骤：(1) 确定函数 f(x)的定义域；(2) 求导数 f′(x)；(3) 由 f′(x)＞0(或＜0)解出相应的 x 的取值范围．当 f′(x)＞0 时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当 f′(x)＜0 时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数. 一般需要通过列表，写出函数的单调区间．已知函数 f(x)＝＋－ln x－，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝x.(1) 求...
