第 3 讲 函数的极值与最值 1. 利用导数考查函数的极值和最值，是高考中的热点和难点问题．其主要原理是利用导数工具就函数的变化趋势和取特殊点作分析．注意数形结合、分类讨论思想在其中的应用．2. 涉及函数的极值和最值问题的主要题型有：一是利用导数求函数的极值和最值；二是借助极值和最值求参数的取值范围；三是涉及函数的极值与最值的综合函数问题．1. 函数 y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________．答案：8解析：y′＝6x2－4x，令 y′＝0，得 x＝0 或 x＝. f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8，∴函数的最大值为 8.2. (2018·南通一中)若函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9 在 x＝－3 时取得极值，则 a＝________．答案：5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知 f′(－3)＝0，即 3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得 a＝5.3. 若函数 f(x)＝2x2－ln x 在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数 k 的取值范围是________．答案：解析：因为 f(x)的定义域为(0，＋∞)，又 f′(x)＝4x－，由 f′(x)＝0，得 x＝.由题意得解得 1≤k<.4. (2018·汇龙中学)若函数 f(x)＝的值域为[0，＋∞)，则实数 a 的取值范围是________．答案：[2，3]解析：当 x≤0 时，0≤f(x)＝1－2x<1；当 x>0 时，f(x)＝x3－3x＋a，f′(x)＝3x2－3，当 x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当 x＝1 时，函数 f(x)取得最小值为 f(1)＝1－3＋a＝a－2.由题意得 0≤a－2≤1，解得 2≤a≤3., 一) 利用导数研究函数的极值问题, 1) (2018·南通中学练习)已知函数 f(x)＝－x3＋x2＋2ax.(1) 若曲线 y＝f(x)在点 P(2，f(2))处的切线的斜率为－6，求实数 a；(2) 若 a＝1，求 f(x)的极值．解：(1) 因为 f′(x)＝－x2＋x＋2a，曲线 y＝f(x) 在点 P(2，f(2)) 处的切线的斜率 k＝f′(2)＝2a－2＝－6，所以 a＝－2. (2) 当 a＝1 时，f(x)＝－x3＋x2＋2x，所以 f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)．x(－∞，－1)－1(－1，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)－所以 f(x)的极大值为，极小值为－.点评：求函数 f(x)极值的步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数 f′(x)；③ 解方程 f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④ 列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在 x0处取极大值，如果...
