第 2 讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)已知 sin α－cos α＝，则 sin 2α＝( )A.－ B.－ C. D.解析 sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.答案 A2.(2016·山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则 A＝( )A.π B. C. D.解析 因为 b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，所以 cos A＝＝，则 cos A＝sin A.在△ABC 中，A＝.答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则 C＝( )A. B. C. D.解析 由题意得 sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0，∴sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，则 sin C(sin A＋cos A)＝sin Csin＝0，因为 sin C≠0，所以 sin＝0，又因为 A∈(0，π)，所以 A＋＝π，所以 A＝.由正弦定理＝，得＝，则 sin C＝，得 C＝.答案 B4.(2017·全国Ⅰ卷)已知 α∈，tan α＝2，则 cos＝________.解析 由 tan α＝2 得 sin α＝2 cos α，又 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝.因为 α∈，所以 cos α＝，sin α＝.因为 cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.答案 考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.(2)诱导公式：对于“±α，k∈Z 的三角函数值”与“α 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；tan(α±β)＝.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中 tan φ＝.2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC 中，＝＝＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶s...
