专题二 数列[全国卷 3 年考情分析], 第一讲 小题考法——等差数列与等比数列考点(一)数列的递推关系式主要考查方式有两种：一是利用 an与 Sn的关系求通项 an或前 n 项和 Sn； 二是利用 an与 an＋1的关系求通项 an或前 n项和 Sn.[典例感悟][典例] (1)(2018·合肥一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 3Sn＝2an－3n，则 a2 018＝( )A．22 018－1 B.32 018－6C.2 018－ D.2 018－(2)(2018·惠州模拟)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式 an＝________.(3)(2018·昆明模拟)在数列{an}中，a1＝5，(an＋1－2)(an－2)＝3(n∈N*)，则该数列的前 2 018 项的和是________．[解析] (1) 3Sn＝2an－3n，∴当 n＝1 时，3S1＝3a1＝2a1－3，∴a1＝－3.当 n≥2 时，3an＝3Sn－3Sn－1＝(2an－3n)－(2an－1－3n＋3)，∴an＝－2an－1－3，∴an＋1＝－2(an－1＋1)，∴数列{an＋1}是以－2 为首项，－2 为公比的等比数列，∴an＋1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n，∴an＝(－2)n－1，∴a2 018＝(－2)2 018－1＝22 018－1.故选 A.(2)an＋1－2an＝2n两边同除以 2n＋1，可得－＝，又＝，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝n·2n－1.(3)依题意得(an＋1－2)(an－2)＝3，(an＋2－2)·(an＋1－2)＝3，因此 an＋2－2＝an－2，即 an＋2＝an，所以数列{an}是以 2 为周期的数列．又 a1＝5，因此(a2－2)(a1－2)＝3(a2－2)＝3，故 a2＝3，a1＋a2＝8.又因为 2 018＝2×1 009，所以该数列的前 2 018 项的和等于 1 009(a1＋a2)＝8 072.[答案] (1)A (2)n·2n－1 (3)8 072[方法技巧]由 an与 Sn的关系求通项公式的注意点(1)应重视分类讨论思想的应用，分 n＝1 和 n≥2 两种情况讨论，特别注意 an＝Sn－Sn－1成立的前提是 n≥2.(2)由 Sn－Sn－1＝an推得 an，当 n＝1 时，a1也适合，则需统一表示(“合写”)．(3)由 Sn－Sn－1＝an 推得 an，当 n＝1 时，a1 不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即 an＝[演练冲关]1．(2019 届高三·洛阳四校联考)已知数列满足条件 a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则数列的通项公式为( )A．an＝2n＋1 B．an＝C．an＝2n D.an＝2n＋2解析：选 B 由题意可知，数列满足条件 a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则 n≥2 时，有a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2(n－1)＋5，n≥2，两式相减可得，＝2n＋5－2(n－1)...
