第 5 讲 导数的综合应用与热点问题高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ex－ax2.(1)若 a＝1，证明：当 x≥0 时，f(x)≥1；(2)若 f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求 a.(1)证明 当 a＝1 时，f(x)＝ex－x2，则 f′(x)＝ex－2x.令 g(x)＝f′(x)，则 g′(x)＝ex－2.令 g′(x)＝0，解得 x＝ln 2.当 x∈(0，ln 2)时，g′(x)<0；当 x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0.∴当 x≥0 时，g(x)≥g(ln 2)＝2－2ln 2>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1.(2)解 若 f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程 ex－ax2＝0 在(0，＋∞)上只有一个解，由 a＝，令 φ(x)＝，x∈(0，＋∞)，φ′(x)＝，令 φ′(x)＝0，解得 x＝2.当 x∈(0，2)时，φ′(x)<0；当 x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0.∴φ(x)min＝φ(2)＝.∴a＝.2.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ax2－ax－xln x，且 f(x)≥0.(1)求 a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 e－21 时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以 x＝1 是 g(x)的极小值点，故 g(x)≥g(1)＝0.综上，a＝1.(2)证明 由(1)知 f(x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x，设 h(x)＝2x－2－ln x，则 h′(x)＝2－.当 x∈时，h′(x)<0；当 x∈时，h′(x)>0.所以 h(x)在单调递减，在单调递增.又 h(e－2)>0，h<0，h(1)＝0，所以 h(x)在有唯一零点 x0，在有唯一零点 1，且当 x∈(0，x0)时，h(x)>0；当 x∈(x0，1)时，h(x)<0；当 x∈(1，＋∞)时，h(x)>0.因为 f′(x)＝h(x)，所以 x＝x0是 f(x)的唯一极大值点.由 f′(x0)＝0 得 ln x0＝2(x0－1)，故 f(x0)＝x0(1－x0).由 x0∈得 f(x0)<.因为 x＝x0是 f(x)在(0，1)的最大值点，由 e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0 得 f(x0)>f(e－1)＝e－2.所以 e－2
