高考数学二轮复习 专题七 第1讲 坐标系与参数方程案 文-人教版高三全册数学学案

第 1 讲 坐标系与参数方程高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 ρcos θ＝4.(1)设点 M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为，点 B 在曲线 C2上，求△OAB 面积的最大值.解 (1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.由|OM|·|OP|＝16 得 C2的极坐标方程为 ρ＝4cos θ(ρ>0).因此 C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).(2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB 的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝2≤2＋.当 α＝－时，S 取得最大值 2＋.所以△OAB 面积的最大值为 2＋.2.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为(θ 为参数)，直线 l 的参数方程为(t 为参数).(1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为，求 a.解 (1)a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0.曲线 C 的标准方程是＋y2＝1，联立方程解得或则 C 与 l 交点坐标是(3，0)和.(2)直线 l 的普通方程是 x＋4y－4－a＝0.设曲线 C 上点 P(3cos θ，sin θ).则 P 到 l 距离 d＝＝，其中 tan φ＝.又点 C 到直线 l 距离的最大值为.∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为 17.若 a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.若 a<0，则 5－4－a＝17，∴a＝－16.综上，实数 a 的值为 a＝－16 或 a＝8.考 点 整 合1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则2.直线的极坐标方程若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它的方程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点 M(a，0)(a>0)且垂直于极...