等差数列【考点 1】等差数列的定义（1）等差数列的定义：数列中，若（常数），对都成立，则数列叫等差数列，常数叫等差数列的公差．等差数列的通项公式为 通项公式推广：例 1 已知等差数列中，,，试问 217 是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由．【点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证这个数值是否为其中的某项．【解析】法一：由通项公式，得 ， ∴, 由，解得．∴217 是此数列的第 61 项．法二：由等差数列性质得，即,又， ∴, 得．∴217 是此数列的第61 项．法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点， 点P（15,33）, ∴（45,153）, R（n,217）在同一条直线上，∴ ，得．∴217 是此数列的第 61 项．【答案】第 61 项．【小结】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质．1．等差数列{an}中，首项 a1＝3，公差 d＝5，如果 an＝2013，则序号 n 等于 ．【解答过程】解析：由 a1＝3，d＝5 可得通项公式 an＝a1＋（n－1）d＝3＋5（n－1）＝5n－2，由 5n－2＝2013，得 n＝403．【考点 2】等差数列的判定方法及分类（1）等差数列的判定方法：① 定义法：是等差数列；② 中项公式法：（n）是等差数列；③ 通项公式法：是等差数列；④ 前 n 项和公式法：（A,B,为常数）是等差数列．⑤ 设｛｝是等差数列，数列｛｝是等差数列．（2）等差数列的分类：当时，是递增数列；当时，是递减数列；当时，是常数列．例 2 已知数列满足，证明数列是等差数列．【点拨】对左右两边同除以得，然后倒置得，移项根据等差数列的定义判别．【解析】由已知可得，所以，即，∴数列是公差为 1 的等差数列．【小结】本题考查倒置法构造等差数列．练习 1：已知数列中，，则等于 ．【解题过程】【解析】本题考查取倒数法构造等差数列间接求得数列的通项公式，从而求得的值．由得,是以 1 为首项，以为公差的等差数列．．例 3 数列满足，（≥2），设=，判断数列是否为等差数列并试证明．【点拨】利用等差数列的定义，代入证得．【解析】 ，∴ 数列是公差为的等差数列．【小结】本题考查等差数列的定义．练习 1：在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设 bn＝．证明：数列{bn}是等差数列．【解答过程】【解析】由已知 an＋1＝2an＋2n，得 bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1．∴bn＋1－bn＝1，又 b1＝a...
