第 3 讲 函数的奇偶性及周期性一、知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义特点偶函数图像关于 y 轴 对称的函数叫作偶函数f(－x)＝f ( x ) 奇函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数f(－x)＝－ f ( x ) 2.周期性(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．常用结论1．函数奇偶性的常用结论(1)奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．(2)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0.(3)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)．(2)若 f(x＋a)＝，则 T＝2a(a>0)．(3)若 f(x＋a)＝－，则 T＝2a(a>0)．二、教材衍化1．下列函数中为偶函数的是( )A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x解析：选 B.根据偶函数的定义知偶函数满足 f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A 选1项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选 B.2．已知函数 f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a
