高考数学二轮复习 专题四 第3讲 圆锥曲线综合问题学案-人教版高三全册数学学案

第 3 讲圆锥曲线综合问题1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，往往作为试卷的压轴题之一；2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．1．圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．2．定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．3．存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．(3)得出结论．热点一 圆锥曲线中的最值、范围【例 1】(2018·济宁期末)已知抛物线C: x2=2 py ( p>0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B两点，且⃑OA ⋅⃑OB=−3，直线 AO，BO 分别交直线y=−1于点 M，N．(1)求抛物线 C 的方程；(2)求S△OMN的最小值．解（1）抛物线C: x2=2 py ( p>0)的焦点为 F(0, p2)，A (x1, y1)，B (x2, y2)设直线AB的方程为：y=kx+ p2 ，联立直线AB与抛物线C的方程可得：¿，整理得：x2−2 pkx−p2=0，所以x1+ x2=2 pk，x1⋅ x2=−p2，y1 y2=(k x1+ p2)(k x2+ p2)=k2x1x2+ p2 k (x1+x2)+ p24= p24，因为⃑OA ⋅⃑OB=−3，且⃑OA=(x1, y1)，⃑OB=(x2, y2)，所以x1⋅ x2+ y1 y2=−3，即−p2+ p24 =−3，解得：p=2．所以抛物线 C 的方程为：x2=4 y。（2）直线OA的方程为：y= y1x1x，直线OB的方程为：y= y2x2x，联立¿得：x=−x1y1，所以M(−x1y1,−1)，联立¿得：x=−x2y2，所以N(−x2y2,−1)，所以MN=|x2y2− x1y1|=|x2 y1−x1 y2y2 y1 |=|x2(k x1+ p2)−x1(k x2+ p2)y1 y2|=|x1−x2|=❑√(x1+x2)2−4 x1⋅ x2，所以SΔOMN=12 ×1×|x1−x2|=12❑√(x1+ x2)2−4 x1⋅ x2=12❑√4k2+16≥2，当k=0时，等号成立．所以S△OMN的最小值为 2．探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特...