第 4 讲 平面向量数量积 1. 平面向量的数量积是高考的必考内容，考查内容主要涉及平面向量数量积的概念、向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题，运用到数形结合、转化与化归等思想．2. 高考中的主要题型：(1) 平面向量数量积的运算；(2) 利用数量积解决平行与垂直等问题；(3) 利用向量解决某些简单的几何问题．1. (2017· 全 国 卷 Ⅲ ) 已 知 向 量 a ＝ ( － 2 ， 3) ， b ＝ (3 ， m) ， 且 a⊥b ， 则 m ＝________．答案：2解析： a⊥b，∴ a·b＝－2×3＋3m＝0，解得 m＝2.2. (2018·湛江模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2，1)，则AD·AC＝________．答案：5解析：因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)．所以AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5.3. 已知 e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若 a·b＝0，则实数 k＝ ________．答案：解析： a·b＝0，∴ (e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即 k－＋k＝0，即 k＝.4. (2018·苏州暑假测试)已知平面向量 a＝(2，1)，a•b＝10，若＝5，则＝________．答案：5解析：因为 a＝(2，1)，所以|a|＝.又＝5，所以 a2＋2a·b＋b2＝50，所以 b2＝25，所以|b|＝5., 一) 平面向量数量积的运算, 1) 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1) 求 a 与 b 的夹角 θ；(2) 求|a＋b|的值．解：(1) 因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以 64－4a·b－27＝61，所以 a·b＝－6.所以 cos θ＝＝＝－.又 0≤θ≤π，所以 θ＝.(2) |a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.已知|a|＝4，|b|＝8，a 与 b 的夹角是 120°.(1) 计算：① |a＋b|，② |4a－2b|；(2) 当 k 为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解：由已知得 a·b＝4×8×＝－16.(1) ① |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴ |a＋b|＝4.② |4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴ |4a－2b|＝16.(2) (a＋2b)⊥(ka－b)，∴ (a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即 16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得 k＝－7.即当 k＝－7 时，a＋2b 与 ka－b 垂直．, 二) 平面向量的平行与垂直问题, 2) 向量 a...
