2.4.2 数列的通项与求和1．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前 n 项和．[解] (1)因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以 an＝(n≥2)．又由题设可得 a1＝2 也适合上式，从而{an}的通项公式为 an＝.(2)记的前 n 项和为 Sn.由(1)知＝＝－，则 Sn＝－＋－＋…＋－＝.2．(2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nb2n－1}的前 n 项和(n∈N*)．[解] (1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q.由已知 b2＋b3＝12，得 b1(q＋q2)＝12，而 b1＝2，所以 q2＋q－6＝0.又因为 q>0，解得 q＝2.所以 bn＝2n.由 b3＝a4－2a1，可得 3d－a1＝8.①由 S11＝11b4，可得 a1＋5d＝16，②联立①②，解得 a1＝1，d＝3，由此可得 an＝3n－2.所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为 bn＝2n.(2)设数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为 Tn，由 a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，有 a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8.得 Tn＝×4n＋1＋.所以数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为×4n＋1＋.1.高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．2．若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在 17 题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第 12 题或 16 题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．
