高考数学二轮复习 专题四 数列 第二讲 数列的通项与求和学案 理-人教版高三全册数学学案

第二讲 数列的通项与求和考点一 求数列的通项公式数列通项公式的求法(1)公式法：由 an＝求通项公式．(2)累加法：由形如 an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)的递推关系求通项公式时，常用累加法．(3)累乘法：由形如＝f(n)(f(n)是可以求积的)的递推关系求通项公式时，常用累乘法．(4)构造法：由形如“an＋1＝Aan＋B(A≠0 且 A≠1)”的递推关系求通项公式时，可用迭代法或构造等比数列法．角度 1：公式法求数列通项[解析] 解法一：由 Sn＝2an＋1，得 a1＝2a1＋1，所以 a1＝－1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，得 an＝2an－1，∴{an}是首项为－1，公比为 2 的等比数列．∴S6＝＝＝－63.解法二：由 Sn＝2an＋1，得 S1＝2S1＋1，所以 S1＝－1，当 n≥2 时，由 Sn＝2an＋1 得 Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即 Sn＝2Sn－1－1，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)，又 S1－1＝－2，∴{Sn－1}是首项为－2，公比为 2 的等比数列，所以 Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，所以 Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.[答案] －63角度 2：累加法、累乘法求数列通项[解析] 因为 an＋1－1＝an＋2n，所以当 n≥2 时，an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2(n－1)－1，an－2－an－3＝2(n－2)－1，…a2－a1＝2×2－1，将以上各式相加，得 an－a1＝(2n－1)＋[2(n－1)－1]＋[2(n－2)－1]＋…＋(2×2－1)＝[2n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2]－(n－1)＝－n＋1＝(n－1)(n＋2)－n＋1＝n2－1.又因为 a1＝2，所以 an＝n2－1＋a1＝n2＋1(n≥2)．当 n＝1 时，a1＝2 适合上式．故 an＝n2＋1(n∈N*)．[答案] an＝n2＋1角度 3：构造法求数列通项[解析] 在递推公式 an＋1＝2an＋3×2n的两边同时除以 2n＋1，得＝＋，所以数列是等差数列，其首项为＝1，公差为，所以＝1＋(n－1)×＝n－，所以 an＝(3n－1)·2n－1.[答案] an＝(3n－1)·2n－1[探究追问] 若本例中的“an＋1＝2an＋3×2n”改为“an＋1＝2an＋3×5n”，其他条件不变，则数列{an}的通项公式为________．[解析] 解法一：在递推公式 an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以 5n＋1，得＝×＋，①令＝bn，则①式变为 bn＋1＝bn＋，即 bn＋1－1＝(bn－1)，又因为 b1－1＝－1＝－，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为－，公比为，所以 bn－1＝×n－1，即 bn＝1－×n－1，所以＝1－×n－1＝1－，故 an＝5n－3×2n－1.解法二：设 an＋1＋k·5n＋1＝2(an＋k×5n)，则 an＋1＝2an－3k×5n，与...