高考数学复习 专题02 函数与导数 导数的综合应用备考策略-人教版高三全册数学素材VIP专享

导数的综合应用主标题：导数的综合应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：导数与方程，导数与不等式，导数应用，备考策略难度：4重要程度：5内容考点一 导数在方程(函数零点)中的应用【例 1】已知函数 f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.(1)若曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线 y＝b 相切，求 a 与 b 的值；(2)若曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点，求 b 的取值范围．审题路线 (1)由导数的几何意义，知 f′(a)＝0 且 f(a)＝b，解方程得 a，b 的值．(2)两曲线的交点问题，转化为方程 x2＋xsin x＋cos x－b＝0.通过判定零点个数来求解．解 由 f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得 f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．(1)因为曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线 y＝b 相切，所以 f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得 a＝0，b＝f(0)＝1.(2)设 g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsin x＋cos x－b.令 g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得 x＝0.当 x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)g′(x)－0＋g(x)1－b所以函数 g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且 g(x)的最小值为 g(0)＝1－b.① 当 1－b≥0 时，即 b≤1 时，g(x)＝0 至多有一个实根，曲线 y＝f(x)与 y＝b 最多有一个交点，不合题意．② 当 1－b<0 时，即 b>1 时，有 g(0)＝1－b<0，g(2b)＝4b2＋2bsin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又 y＝g(x)在 R 上是偶函数，且 g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．故当 b>1 时，y＝g(x)在 R 上有两个零点，则曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点．综上可知，如果曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点，那么 b 的取值范围是(1，＋∞)．【备考策略】 (1)在解答本题(2)问时，可转化为判定 f(x)＝b 有两个实根时实数 b 应满足的条件，并注意 g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数 y＝f(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注 意严谨性，进行必要的论证．(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图 象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数 的和谐...