第 2 课时 直线与椭圆考点 1 直线与椭圆的位置关系 研究直线与椭圆位置关系的方法直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去 y(或 x)后得到关于 x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为 Δ，①Δ＞0⇔直线与椭圆相交．②Δ＝0⇔直线与椭圆相切．③Δ＜0⇔直线与椭圆相离． 1.若直线 y＝kx＋1 与椭圆＋＝1 总有公共点，则 m 的取值范围是( )A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5 且 m≠1D．m≥1 且 m≠5D [ 直线 y＝kx＋1 恒过定点(0,1)，∴要使直线 y＝kx＋1 与椭圆＋＝1 总有公共点，只需＋≤1，即 m≥1，又 m≠5，故 m 的取值范围为 m≥1 且 m≠5，故选 D.]2．已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：＋＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解] 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当 Δ＞0，即－3＜m＜3 时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点．(2)当 Δ＝0，即 m＝±3 时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点．(3)当 Δ＜0，即 m＜－3 或 m＞3 时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点． (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数； (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．考点 2 弦长及中点弦问题 中点弦问题 处理中点弦问题常用的求解方法 1 (1)过椭圆＋＝1 内一点 P(3,1)，且被点 P 平分的弦所在直线的方程是( )A．4x＋3y－13＝0B．3x＋4y－13＝0C．4x－3y＋5＝0D．3x－4y＋5＝0(2)[一题多解](2019·惠州模拟)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线 y＝3x＋7 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为 1，则这个椭圆的方程为________．(1)B (2)＋＝1 [(1)设所求直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意得①－②得＋＝0，又 P(3,1)是 AB 的中点．∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝＝－.故直线 AB 的方程为 y－1＝－(x－3)...
