第 2 讲 等差数列及其前 n 项和一、知识梳理1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项 起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，称这个常数为等差数列的公差，常用字母 d 表示． (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A ＝ ，其中 A 叫做 a，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋ ( n － 1) d ．(2)前 n 项和公式：Sn＝na1＋ d ＝．3．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前 n 项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋( n － m ) d (n，m∈N+)．(2)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则 ak＋ a l＝ a m＋ a n．(3)若{an}的公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2 d ．(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．常用结论1．等差数列的函数性质(1)通项公式：当公差 d≠0 时，等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d 是关于 n 的一次函数，且一次项系数为公差 d.若公差 d>0，则为递增数列，若公差 d<0，则为递减数列．(2)前 n 项和：当公差 d≠0 时，Sn＝na1＋d＝n2＋n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.(3)单调性：当 d>0 时，数列{an}为递增数列；当 d<0 时，数列{an}为递减数列；当 d＝0 时，数列{an}为常数列．2．记住两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质① 若项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝nd，＝；② 若项数为 2n－1，则 S 偶＝(n－1)an，S 奇＝nan，S 奇－S 偶＝an，＝.(2)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和 Sn，Tn之间的关系为＝.二、教材衍化1．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第 100 项为________．解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为 5，所以 a100＝－8＋99×5＝487.答案：4872．在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8＝________．解析：由等差数列的性质，得 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以 a5＝90，所以 a2＋a8＝2a5＝180.答案：1803．已知等差数列 5，4，3，…，则前 n 项和 Sn＝________．解析：由题知公差 d＝－，所以 Sn＝na1＋d＝(75n－5n2)．答案：(75n－5n2)4．设数列{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a6＝2 且 S5＝30，则 S8＝________．解析：由已知可得解得所以 S8＝8a1＋d＝32.答案：32...
