平面对量与解析几何得综合运用数学组 施冬芳由于向量既能体现“形”得直观位置特征，又具有“数”得良好运算性质,就是数形结合与转换得桥梁与纽带。而解析几何也具有数形结合与转换得特征,所以在向量与解析几何知识得交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题得一个新得亮点。近几年全国各地得高考试题中，向量与解析结合得综合问题时有出现。但从最近教学情况来瞧,学生对这一类问题得掌握不到位,在试卷上常常出现进退两难得境地,因此,就这一问题做一归纳总结与反思。平面对量与解析几何得结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题得处理,解决此类问题基本思路就是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算;或者考虑向量运算得几何意义,利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：1、运用向量共线得充要条件处理解几中有关平行、共线等问题运用向量共线得充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清楚，易于操作,比用斜率或定比分点公式讨论这类问题要简捷得多。 例 1、 (全国卷Ⅰ))已知椭圆得中心为坐标原点Ｏ,焦点在轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 得直线交椭圆于 A、B 两点,与共线。(Ⅰ)求椭圆得离心率；(Ⅱ）设 M 为椭圆上任意一点,且,证明为定值。解：设椭圆方程为则直线 AB 得方程为,代入，化简得、令 A(),B）,则由与共线，得又,即,所以,故离心率(II)证明：(1)知,所以椭圆可化为设,由已知得 在椭圆上,即①由(1)知又,代入①得故为定值，定值为 1、 例 2(天津卷）椭圆得中心就是原点 O,它得短轴长为,相应于焦点Ｆ(c, ０）(ｃ＞0)得准线 l 与 x 轴相交于点 A, 过点 A得直线与椭圆相交于 P、Q 两点。(Ⅰ)求椭圆得方程及离心率;(Ⅱ）若,求直线 PQ 得方程；(Ⅲ)设，过点 P 且平行于准线 l 得直线与椭圆相交于另一点Ｍ,证明:[简解] （Ⅰ) 椭圆方程为,离心率 （Ⅱ）略、 (Ⅲ) [证明] 设 P(x1，y １),Q (x2,y2）,又 A(3,0),由已知得方程组:; 注意 λ>１,消去 x １、y1与 y2 得 因Ｆ(2 , 0）, M（x １，－ｙ 1),故而所以 、2、运用向量得数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题;运用向量得数量积,可以把有关得长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求得结果。例３、 (重庆卷)设 p＞0 就是一常数,过点Ｑ(2p，0)得直线与抛物线 y2＝2px 交于相异两点 A、B，以线段 AB 为直径作圆 H(H 为圆心),试证明抛物线顶点...
