第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线 考点 1 圆锥曲线的定义及标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值．[例 1] (1)[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为( )A.＋y2＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1(2)[2019·全国卷Ⅲ]设 F1，F2为椭圆 C：＋＝1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则 M 的坐标为________．【解析】 (1)由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接 F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得 m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O 为坐标原点)，则 sin θ＝.在等腰三角形 ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－22，得 a2＝3.又 c2＝1，所以 b2＝a2－c2＝2，椭圆 C 的方程为＋＝1.故选 B.(2)本题主要考查椭圆的标准方程及定义，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．不妨令 F1，F2分别为椭圆 C 的左、右焦点，根据题意可知 c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设 M(x，y)，则得所以 M 的坐标为(3，)．【答案】 (1)B (2)(3，) 求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法．(2)待定系数法．① 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为 y2＝2ax 或 x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时 a 不具有 p 的几何意义．② 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为＋＝1(m>0，n>0，且 m≠n)．双曲线方程可设为－＝1(mn>0)．这样可以避免讨论和烦琐的计算．对于＋＝1 和－＝1 来说，抓住 a、b、c 间的关系是关键.『对接训练』1．[2019·江西九江模拟]点 M(5,3)到抛物线 y＝ax2(a≠0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2 B．y＝12x2或 y＝－36x2C．y＝－36x2 D．y＝x2或 y＝－x2解析：当 a>0 时，可得 y＝x2；当 a<0 时，可得 y＝－x2.答案：D2．[2019·吉林长春模拟]双曲线...
