指导三 巧用八种解题术 “探求思路、图体向导”术对题设条件不够明显的数学问题求解,注意相关的图形,巧用图形作向导,可打破思维瓶颈,多途径找到突破方法.尤其是对一些以函数、三角函数、不等式等形式给出的命题,其本身虽不带有图形,但可以设法构造相应的辅助图形进行分析,将代数问题转化为几何问题来解.力争做到有图用图,无图想图,补形改图,充分运用其几何特征的直观性来启迪思维,从而较快地获得解题的途径这就是“用图探路术”.[例 1] 已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( )A.(-∞,0) B.C.(0,1) D.(0,+∞)[解析] B [函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1-2ax.函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,等价于 ln x+1-2ax=0 在(0,+∞)上有两个不相等的实数根,令 h(x)=ln x,g(x)=2ax-1,则函数 h(x)=ln x 的图象与函数 g(x)=2ax-1 的图象在(0,+∞)上有两个不同的交点.设函数 h(x)=ln x 与函数 g(x)=2ax-1 的图象相切于点 A(m,ln m),其中 m>0,函数g(x)的图象在点 A 处的切线的斜率为 k=2a,函数 h(x)的图象在点 A 处的切线的斜率为 k=,∴2a=. 直线 g(x)=2ax-1 过点(0,-1),∴k=,∴=.解得 m=1,∴当函数 h(x)与 g(x)的图象相切时,a=.又两函数图象有两个交点,∴a∈.][活学活用 1](2019·杭州二模)设 a,b,c 是单位向量,且 a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为( )A.-2 B.-2C.-1 D.1-解析:D [由于(a-c)·(b-c)=-(a+b)·c+1,因此等价于求(a+b)·c 的最大值,这个最大值只有当向量 a+b 与向量 c 同向共线时取得.由于 a·b=0,故 a⊥b,如图所示,|a+b|=,|c|=1.当 θ=0 时,(a+b)·c 取得最大值且最大值为.故所求的最小值为 1-.] “解题常招,设参换元”术在解答数学问题时,我们常把某个代数式看成一个新的未知数,或将某些变元用另一参变1量的表达式来替换,以便将所求的式子变形,优化思考对象,让原来不醒目的条件,或隐含的信息显露出来,促使问题的实质明朗化,使非标准型问题标准化,从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉,从中找出解题思路.这种通过换元改变式子形式来变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去探究解题思路的做法,就是“设参换元术”,常见的换元法:三角代换、比值代换、整体代换等.[例 2] 已知椭圆...