第 11 讲 数列求和及数列的简单应用1.[2018·全国卷Ⅱ]记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和,已知 a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求 Sn,并求 Sn的最小值.[试做] 2.[2016·全国卷Ⅱ]Sn为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1=1,S7=28.记 bn=[lg an],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求 b1,b11,b101;(2)求数列{bn}的前 1000 项和. [试做] 3.[2014·全国卷Ⅰ]已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中 λ 为常数.(1)证明:an+2-an=λ.(2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.[试做] 命题角度 解决数列大题的有关策略1.解决已知某几个基本量求等差、等比数列的通项公式和前 n 项和问题:关键一:通过列方程(组)求关键量 a1和 d(或 q);关键二:利用通项公式和前 n 项和公式求解.2.解决数列的递推问题:关键一:利用 an={Sn,n=1,Sn-Sn-1,n≥2得出关于 an与 an+1(或 an-1)的递推式;关键二:观察递推式的形式,采用不同方法求 an.3.解决数列求和问题:关键一:利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求解;关键二:利用数列求和方法(倒序相加法、分组求和法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法)求解.4.(1)等差数列的判断方法:定义法、等差中项法、利用通项公式判断、利用前 n 项和判断.(2)等比数列的判断方法:① 定义法:若an+1an=q(q 是常数),则数列{an}是等比数列;② 等比中项法:若an+12=anan+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列;③ 通项公式法:若 an=Aqn-1(A,q 为常数),则数列{an}是等比数列.5.解决关于数列的不等式证明问题常用放缩法,解决最值问题常用基本不等式法.解答 1 等差、等比数列基本量的计算1 已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S1+1,S3,S4成等差数列,且 a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若 S4,S6,Sn成等比数列,求 n 及此等比数列的公比.[听课笔记] 【考场点拨】解决由等差数列、等比数列组成的综合问题,要立足于两数列的概念,设出相应基本量,充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件,形成解题策略.【自我检测】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=a1(2n-1),a4=16,n∈N*. (1)求 a1及数列{an}的通项公式;(2)设 bn=n2an,求数列{bn}的最大项. 解答 2 数列的证明问题2 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈...
