规范答题示例 6 空间角的计算问题典例 6 (12 分)如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上异于 A，B 的一个动点，DC 垂直于圆 O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.(1)求证：DE⊥平面 ACD；(2)若 AC＝BC，求平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值．审题路线图 (1)(2)―→―→―→―→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)证明 ∵DC⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴DC⊥BC，又 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上异于 A，B 的点，∴AC⊥BC，又 AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面 ACD，∴BC⊥平面 ACD.又 DC∥EB，DC＝EB，∴四边形 BCDE 是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面 ACD.4 分(2)解 在 Rt△ACB 中，AB＝4，AC＝BC，∴AC＝BC＝2，如图，以 C 为原点，CA，CB，CD 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出点坐标．则 A(2，0,0)，D(0,0,1)，B(0,2，0)，E(0，2，1)，AD＝(－2，0,1)，DE＝(0,2，0)，AB＝(－2，2，0)，BE＝(0,0,1).6 分设平面 ADE 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，则令 x1＝1，得 n1＝(1,0,2)，设平面 ABE 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，则 令 x2＝1，得 n2＝(1,1,0).10 分∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.∴平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值为.12 分第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.第四步求夹角：计算向量的夹角．第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.评分细则 (1)第(1)问中证明 DC⊥BC 和 AC⊥BC 各给 1 分，证明 DE∥BC 给 1 分，证明 BC⊥平面 ACD 时缺少 AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面 ACD，不扣分．(2)第(2)问中建系给 1 分，两个法向量求出 1 个给 2 分，没有最后结论扣 1 分，法向量取其他形式同样给分．跟踪演练 6 (2018·全国Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．(1)证明 由已知可得 BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面 PEF，所以 BF⊥平面 PEF.又 BF⊂平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD.(2)解 如图，作 PH⊥EF，垂足为 H.由(1)得，PH⊥平面 ABFD.以 H 为坐标原点，HF的方向为 y 轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又 DP＝2，DE＝1，所以 PE＝.又 PF＝1，EF＝2，所以 PE⊥PF.所以 PH＝，EH＝.则 H(0,0,0)，P，D，DP＝，HP＝.又HP为平面 ABFD 的法向量，设 DP 与平面 ABFD 所成的角为 θ，则 sin θ＝＝＝.所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为.
