高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题【考点自测】1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y＝x，且与椭圆＋＝1 有公共焦点，则 C 的方程为( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1答案 B解析 由 y＝x，可得＝.①由椭圆＋＝1 的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得 a2＋b2＝9.②由①②可得 a2＝4，b2＝5.所以 C 的方程为－＝1.故选 B.2．(2017·全国Ⅲ)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.答案 A解析 由题意知，以 A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a.又直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切，∴圆心到直线的距离 d＝＝a，解得 a＝b，∴＝，∴e＝＝＝＝＝.故选 A.3．(2017·全国Ⅰ)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )A．16 B．14 C．12 D．10答案 A解析 因为 F 为 y2＝4x 的焦点，所以 F(1,0)．由题意知直线 l1，l2的斜率均存在，且不为 0，设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为－，故直线 l1，l2的方程分别为 y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．由得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.显然，该方程必有两个不等实根．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝1，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝.同理可得|DE|＝4(1＋k2)．所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)＝4＝8＋4≥8＋4×2＝16，当且仅当 k2＝，即 k＝±1 时，取得等号．故选 A.4．(2017·北京)若双曲线 x2－＝1 的离心率为，则实数 m＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知 a＝1，b2＝m，c＝，故双曲线的离心率 e＝＝＝，∴1＋m＝3，解得 m＝2.5．(2017·山东)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2＝2py(p＞0)交于 A，B 两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 y＝±x解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，显然，方程必有两个不等实根．∴y1＋y2＝.又 |AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋＋y2＋＝4×，即 y1＋y2＝p，∴＝p，即＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为 y＝±x.题型一 求圆锥曲线的标准方程例 1 (2018·佛山模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，...
