泛函分析第2章 度量空间与赋范线性空间

第2章度量空间与赋范线性空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是维欧几里得空间的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它讨论的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学讨论所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念 在微积分中，我们讨论了定义在实数空间上的函数，在讨论函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了上现有的距离函数，即对。度量是上述距离的一般化：用抽象集合代替实数集，并在上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。yvYU7eb。 【定义 2.1】 设是一个非空集合，：是一个定义在直积上的二元函数，假如满足如下性质：（1） 非负性 ；（2） 对称性 （3） 三角不等式 ；则称是中两个元素与的距离（或度量）。此时，称按成为一个度量空间（或距离空间），记为。 注：中的非空子集，根据中的距离显然也构成一个度量空间，称为的子空间。当不致引起混淆时，可简记为,并且常称中的元素为点。j0ckJoV。 例 2.1 离散的距离空间 设是任意非空集合，对中任意两点令 显然，这样定义的满足距离的全部条件，我们称是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。bcuiRkF。此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。例 2.2 维欧几里得空间表示维向量的全体组成的集合，也表示个实数组成的数组的全体形成的集合。对，，定义 DJnee7q。 （2.1）下面来证满足度量定义中的条件（1）~（3）。由式（2.1）不难验证满足条件（1），（2）。为证满足条件（3），需利用时的离散型 Minkowski 不等式（见 1.5 节）。s9qp5pd。 取，则有因此，是一距离空间。称为维欧氏空间。注：若在中规定 （2.1ˊ）则也是距离空间（读者自己验证）例 2.3 所有数列组成的集合，对定义 （2.2） 那么是上的度量。式（2.2）通常称为 Fréchet 组合。显然满足度量条件（1）~（2），我们来证也满足条件（3）。事实上，对及由于函数是单调增函数，因此由得在上市不等式两边同乘再求和，便得因此是距离空间。例 2.4 连续函数空间对定义 （2.3）则是上的一个度量。 显然满足度量条件（1）~（2）。对另一连续函数由所以例2.5函数类（参见 1.6 节）,对定义 （2.4）则是上的一个度量...