第六章 数列 专题探究课三热点一 可转为等差数列、等比数列的数列问题【例 1】 数列{an}，{bn}，{cn}满足 bn＝an－2an＋1，cn＝an＋1＋2an＋2－2，n∈N*.(1)若数列{an}是等差数列，求证：数列{bn}是等差数列；(2)若数列{bn}，{cn}都是等差数列，求证：数列{an}从第二项起为等差数列；(3)(一题多解)若数列{bn}是等差数列，试判断当 b1＋a3＝0 时，数列{an}是否成等差数列.证明你的结论.证明 (1)设数列{an}的公差为 d.因为 bn＝an－2an＋1，所以 bn＋1－bn＝(an＋1－2an＋2)－(an－2an＋1)＝(an＋1－an)－2(an＋2－an＋1)＝d－2d＝－d，所以数列{bn}是公差为－d 的等差数列.(2)当 n≥2 时，cn－1＝an＋2an＋1－2.因为 bn＝an－2an＋1，所以 an＝＋1，所以 an＋1＝＋1，所以 an＋1－an＝－＝＋.因为数列{bn}，{cn}都是等差数列，所以＋为常数，所以数列{an}从第二项起为等差数列.(3)数列{an}成等差数列.法一 设数列{bn}的公差为 d′.因为 bn＝an－2an＋1，所以 2nbn＝2nan－2n＋1an＋1，所以 2n－1bn－1＝2n－1an－1－2nan，…，2b1＝2a1－22a2，所以 2nbn＋2n－1bn－1＋…＋2b1＝2a1－2n＋1an＋1.设 Tn＝2b1＋22b2＋…＋2n－1bn－1＋2nbn，所以 2Tn＝22b1＋…＋2nbn－1＋2n＋1bn.两式相减得－Tn＝2b1＋(22＋…＋2n－1＋2n)d′－2n＋1bn，即 Tn＝－2b1－4(2n－1－1)d′＋2n＋1bn，所以－2b1－4(2n－1－1)d′＋2n＋1bn＝2a1－2n＋1an＋1.所以 2n＋1an＋1＝2a1＋2b1＋4(2n－1－1)d′－2n＋1bn＝2a1＋2b1－4d′－2n＋1(bn－d′)，所以 an＋1＝－(bn－d′).令 n＝2，得 a3＝－(b2－d′)＝－b1.因为 b1＋a3＝0，所以＝b1＋a3＝0，所以 2a1＋2b1－4d′＝0，所以 an＋1＝－(bn－d′)，所以 an＋2－an＋1＝－(bn＋1－d′)＋(bn－d′)＝－d′，所以数列{an}(n≥2)是公差为－d′的等差数列.因为 bn＝an－2an＋1，令 n＝1，a1－2a2＝－a3，即 a1－2a2＋a3＝0，所以数列{an}是公差为－d′的等差数列.法二 因为 bn＝an－2an＋1，b1＋a3＝0，令 n＝1，a1－2a2＝－a3，即 a1－2a2＋a3＝0，所以 bn＋1＝an＋1－2an＋2，bn＋2＝an＋2－2an＋3，所以 2bn＋1－bn－bn＋2＝(2an＋1－an－an＋2)－2(2an＋2－an＋1－an＋3).因为数列{bn}是等差数列，所以 2bn＋1－bn－bn＋2＝0，所以 2an＋1－an－an＋2＝2(2an＋2－an＋1－an＋3).因为 a1－2a2＋a3＝0，所以 2an＋1－an－an＋2＝0，所以数列{an}是等差数列.探究提高 解决...
