专题三 导数———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第 9 页)1．(2017·江苏高考)已知函数 f (x)＝x3－2x＋ex－，其中 e 是自然对数的底数．若 f (a－1)＋f (2a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________． [因为 f (－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－＝－x3＋2x－ex＋＝－f (x)，所以 f (x)＝x3－2x＋ex－是奇函数．因为 f (a－1)＋f (2a2)≤0，所以 f (2a2)≤－f (a－1)，即 f (2a2)≤f (1－a)．因为 f ′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，所以 f (x)在 R 上单调递增，所以 2a2≤1－a，即 2a2＋a－1≤0，所以－1≤a≤.]2．(2014·江苏高考)本在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋(a，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值是________．－3 [y＝ax2＋的导数为 y′＝2ax－，直线 7x＋2y＋3＝0 的斜率为－.由题意得解得则 a＋b＝－3.]3．(2013·江苏高考)抛物线 y＝x2在 x＝1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D(包含三角形内部与边界)．若点 P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则 x＋2y 的取值范围是________． [由于 y′＝2x，所以抛物线在 x＝1 处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1.画出可行域(如图)．设 x＋2y＝z，则 y＝－x＋z，可知当直线 y＝－x＋z 经过点A，B(0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值 zmax＝，最小值 zmin＝－2，故取值范围是.]4．(2015·江苏高考)已知函数 f (x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)试讨论 f (x)的单调性；(2)若 b＝c－a(实数 c 是与 a 无关的常数)，当函数 f (x)有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，求 c 的值. 【导学号：56394014】[解] (1)f ′(x)＝3x2＋2ax，令 f ′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝－.当 a＝0 时，因为 f ′(x)＝3x2≥0，所以函数 f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当 a＞0 时，x∈∪(0，＋∞)时，f ′(x)＞0，x∈时，f ′(x)＜0，所以函数 f (x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当 a＜0 时，x∈(－∞，0)∪时，f ′(x)＞0，x∈时，f ′(x)＜0，所以函数 f (x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，函数 f (x)的两个极值为 f (0)＝b，f ＝a3＋b，则函数 f (x)有三个零点等价于 f (0)·f ＝b＜0，从而或又 b＝c－a，所以当...
