第 1 讲 立体几何中的向量方法、抛物线高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)空间向量的坐标表示及坐标运算，属 B 级要求；(2)线线、线面、面面平行关系判定，属 B 级要求；(3)线线、线面、面面垂直的判定，属B 级要求；(4)求异面直线、直线与平面、平面与平面所成角，属 B 级要求；(5)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，B 级要求.真 题 感 悟 1.(2018·江苏卷)如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AA1＝2，点 P，Q 分别为A1B1，BC 的中点.(1)求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；(2)求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值.解 如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，设 AC，A1C1 的中点分别为 O，O1，连接 OB，OO1，则 OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB，OC，OO1}为基底 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O － xyz. 因 为 AB ＝ AA1 ＝ 2 ， 所 以 A(0 ， －1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2).(1)因为 P 为 A1B1的中点，所以 P，从而BP＝，AC1＝(0，2，2)，故|cos〈BP，AC1〉|＝＝＝.因此，异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为.(2)因为 Q 为 BC 的中点，所以 Q，因此AQ＝，AC1＝(0，2，2)，CC1＝(0，0，2).设 n＝(x，y，z)为平面 AQC1的一个法向量，则即不妨取 n＝(，－1，1).设直线 CC1与平面 AQC1所成角为 θ，则 sin θ＝|cos〈CC1，n〉|＝＝＝，所以直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为.2.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x－y－2＝0，抛物线 C：y2＝2px(p＞0).(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；(2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.① 求证：线段 PQ 的中点坐标为(2－p，－p)；② 求 p 的取值范围.(1)解 l：x－y－2＝0，∴l 与 x 轴的交点坐标为(2，0).即抛物线的焦点为(2，0)，∴＝2，∴p＝4.∴抛物线 C 的方程为 y2＝8x.(2)① 证明 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2).则则∴kPQ＝＝，又 P，Q 关于 l 对称.∴kPQ＝－1，即 y1＋y2＝－2p，∴＝－p，又 PQ 的中点一定在 l 上，∴＝＋2＝2－p.∴线段 PQ 的中点坐标为(2－p，－p).② 解 PQ 的中点为(2－p，－p)，∴即∴即关于 y 的方程 y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根.∴Δ＞0.即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得 0＜p...
