（江苏专用）新高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2节 导数在研究函数中的应用 第二课时 利用导数研究函数的极值、最值学案-人教版高三全册数学学案

第二课时 利用导数研究函数的极值、最值考点一 利用导数求函数的极值 多维探究角度 1 根据函数图象判断极值【例 1－1】 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B.函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)D.函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)解析 由题图可知，当 x<－2 时，f′(x)>0；当－22 时，f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值.答案 D规律方法 由图象判断函数 y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由 y＝f′(x)的图象与 x 轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数 y＝f′(x)的图象可以看出 y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数 y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度 2 已知函数求极值【例 1－2】 已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R).(1)当 a＝时，求 f(x)的极值；(2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数.解 (1)当 a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且 f′(x)＝－＝，令 f′(x)＝0，得 x＝2，于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln 2－1故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝.当 a≤0 时，f′(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当 a>0 时，若 x∈，则 f′(x)>0，若 x∈，则 f′(x)<0，故函数在 x＝处有极大值.综上可知，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值点，当 a>0 时，函数 y＝f(x)有一个极大值点，且为 x＝.规律方法 运用导数求导函数 f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 f′(x)；(3)解方程 f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.【训练 1】 (1)(角度 1)已知函数 f(x)的定义域为(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数 f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x 轴的交点个数为...