专题六解析几何第三讲圆锥曲线的综合应用适考素能特训理一、选择题1．[2016·天津津南一模]平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线答案A解析设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即解得又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.2．[2016·长春质检]过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为()A．10B．13C．16D．19答案B解析由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.故选B.3．[2016·山西质检]已知F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2面积的最大值是()A．1B.C.D．2答案B解析 ∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，设∠F1PF2＝θ，∴cosθ＝＝，∴S2△PF1F2＝2＝16a4＝－92≤，当且仅当a2＝时，等号成立，故S△PF1F2的最大值是，故选B.4．[2016·云南统检]已知双曲线M的焦点F1、F2在x轴上，直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且PF1·PF2＝0，如果抛物线y2＝16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么|PF1|·|PF2|＝()A．21B．14C．7D．0答案B解析设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，∴＝①又抛物线的准线为x＝－4，∴c＝4②又a2＋b2＝c2③∴由①②③得a＝3.设点P为双曲线右支上一点，∴由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6④又PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2，∴在Rt△PF1F2中|PF1|2＋|PF2|2＝82⑤联立④⑤，解得|PF1|·|PF2|＝14.二、填空题5．[2016·河南洛阳统考]已知F1、F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案x＝－2解析将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由⇒|PF2|＝6－a，又易知F2为抛物线的焦点，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2.6．[2016·南昌一模]已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点．设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则PM·PN的最小值为________．答案－14解析由题意知F(0,1)，所以过点F且斜率为1的直线方程为y＝x＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4x－4＝0，解得x＝2±2，所以可取M(2－2，3－2)，N(2＋2，3＋2)，因为l∥MN，所以可设l的方程为y＝x＋m，代入x2＝4y，整理得x2－4x－4m＝0，又直线l与抛物线相切，所以Δ＝(－4)2－4(－4m)＝0，所以m＝－1，l的方程为y＝x－1.设点P(x，x－1)，则PM＝(2－x－2，4－x－2)，PN＝(2－x＋2，4－x＋2)，PM·PN＝(2－x)2－8＋(4－x)2－8＝2x2－12x＋4＝2(x－3)2－14≥－14.7．[2016·石家庄质检]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB＝2，则|AB|＝________.答案8解析依题意作出图象如图所示，设l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝·＝1，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2， tan∠AMB＝tan(∠AMF＋∠BMF)，∴＝2，＝2，y1－y2＝4m2，∴4＝4m2，m2＝1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝4m2＋4＝8.三、解答题8．[2016·合肥质检]设A，B为抛物线y2＝x上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.(1)求点P的坐标；(2)M为A，B间抛物线段上任意一点，设PM＝λPA＋μPB，试判断＋是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．解(1)知A(1,1)，B(4，－2)，设点P坐标为(xP，yP)，切线l1：y－1＝k(x－1)，联立由抛物线与直线l1相切，解得k＝，即l1：y＝x＋，同理l2：y＝...
