“双勾函数”的性质及应用

“双勾函数”得性质及应用问题引入:求函数得最小值．问题分析:将问题采纳分离常数法处理得,,此时假如利用均值不等式，即,等式成立得条件为,而显然无实数解，所以“”不成立，因而最小值不就是,遇到这种问题应如何处理呢?这种形式得函数又具有何特征呢？就是否与我们所熟知得函数具有相似得性质呢？带着种种疑问,我们来探究一下这种特别类型函数得相关性质.一、利用“二次函数”得性质讨论“双勾函数”得性质1.“双勾函数”得定义我们把形如(为常数,)得函数称为“双勾函数”.因为函数（为常数,）在第一象限得图像如“√”,而该函数为奇函数,其图像关于原点成中心对称,故此而得名.2.类比“二次函数”与“双勾函数”得图像3.类比“二次函数”得性质探究“双勾函数”得性质（1）“二次函数”得性质① 当时，在对称轴得左侧,随着得增大而减小;在对称轴得右侧，随着得增大而增大;当时,函数有最小值 ．② 当时,在对称轴得左侧,随着得增大而增大;在对称轴得右侧,随着得增大而减小.当时,函数有最大值． (2）“双勾函数”性质得探究① 当时,在左侧,随着得增大而减小;在得右侧，随着得增大而增大;当时,函数有最小值 ．② 当时,在得左侧，随着得增大而增大；在得右侧,随着得增大而减小．当时,函数有最大值. 综上知,函数在与上单调递增,在与上单调递减.下面对“双勾函数”得性质作一证明.证明:定义法．设 R,且，则．以下我们怎样找到增减区间得分界点呢？首先，∴就就是一个分界点,另外我们用“相等分界法”，令,可得到，因此又找到两个分界点，．这样就把得定义域分为,，,四个区间,再讨论它得单调性.设,则,,,∴．,∴ 即．∴在上单调递减.同理可得,在上单调递增;在上单调递增；在上单调递减.故函数在与上单调递增,在与上单调递减.性质启发:由函数得单调性及在其单调区间得端点处取值得趋势,可作出函数得图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数得单调性及有关性质．此性质就是求解函数最值得强有力工具,特别就是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性得强大功能.4.“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上得类比（1)“二次函数”得区间最值设，求在上得最大值与最小值.二次函数图像“ 双勾函数”图像分析:将配方，得对称轴方程,① 当时,抛物线开口向上．若必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值;若,此时函数在上具有单调性,故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值.② 当时，抛物线开口向下.若必在顶点...