专题10-以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题-2025年高考数学培优系列VIP专享

专题 10 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题-2025 年高考Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。数学培优系列(老师版)(11页) 专题二 压轴填空题第三关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例 1．【河北省武邑中学 2025 届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B．C. D．【答案】A【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号去掉，转化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题，可利用参变分离法或图象处理．【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区 2025 届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】对任意不等式恒成立, 则实数的取值范围是 ．【答案】【解析】设,则,,故原不等式转化为,即,所以,即.故应填答案.类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例 1 [改编题] 已知函数,当时，不等式恒成立，则实数的取值范围_________．【答案】【解析】因当时，不等式恒成立，即恒成立，设 （），只需即可．由，（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故 成立；（ⅱ）当时，由，因，所以，①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在 上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样 在上无最大值，不满足条件 ；（ⅲ）当时，由， ，∴，∴，故函数在上单调递减，故成立．综上所述，实数 a 的取值范围是．【名师指点】恒成立等价与恒成立，记，则，本题中由于有参数，需要分类讨论，利用导数求最值．【举一反三】已知函数若当时，恒成立，则的取值范围______．【答案】【解析】,令 当时，在上为增函数，而从而当时，，即恒成立，若当时，令，得当时，在上是减函数，而从而当时，，即，综上得的取值范围为.类型三 利用参变分离求恒成立问题典例 2 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．【答案】【解析】①显然时，对...