§5.3解三角形考点一正弦、余弦定理答案A由正弦定理得sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinB,即sinBsin(A+C)=sinB,因为sinB≠0,所以sinB=,所以∠B=或π,又因为a>b,故∠B=,选A.19.(2013陕西,7,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,得sin(B+C)=sin2A,∴sinA=1,即A=.故选B.20.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsinA=10得sinA=,因为A为锐角,所以A=60°,cosA=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+64-2×40×=49,故a=7,即BC=7.评析本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cosA是求解关键.21.(2013浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC=.答案解析令∠BAM=β,∠BAC=α,故|CM|=|AM|sin(α-β), M为BC的中点,∴|BM|=|AM|sin(α-β).在△AMB中,由正弦定理知:=,即=, sinβ=,∴cosβ=,∴=cosα·=sinαcosα-cos2α,整理得1=2sinαcosα-cos2α,解得tanα=,故sinα=.评析本题考查解三角形,正弦定理的应用和三角函数求值问题.考查学生的图形观察能力和数据处理能力.如何利用M是BC中点是解答本题的关键.22.(2012湖北,11,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C=.答案解析由已知得a2+b2-c2=-ab,∴cosC==-,∴C=.评析本题考查余弦定理,考查学生的运算求解能力.23.(2012重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=,cosB=,b=3,则c=.答案解析 A,B,C为三角形内角且cosA=,cosB=,∴sinA=,sinB=.sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=.由正弦定理=,得c=b×=3×=.评析本题考查同角三角函数关系及正弦定理.24.(2013北京,15,13分)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.(1)求cosA的值;(2)求c的值.解析(1)因为a=3,b=2,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cosA=.(2)由(1)知cosA=,所以sinA==.又因为∠B=2∠A,所以cosB=2cos2A-1=.所以sinB==.在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.所以c==5.评析本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查学生运算技巧和运算求解能力,二倍角公式和诱导公式的熟练应用是解决本题的关键.考点二解三角形及其综合应用16.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案A设△ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=π-B,A+B=π-C.于是sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+sin2A+sin2B=-sin2C+sin2A+sin2B+sin⇒⇒2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=2sinC·[cos(A-B)-cos(A+B)]=4sinAsin⇒⇒⇒BsinC=sinAsinBsinC=.⇒则S=absinC=2R2·sinAsinBsinC=R2∈[1,2],∴R∈[2,2],∴abc=8R3sinAsinBsinC=R3∈[8,16],知C、D均不正确.bc(b+c)>bc·a=R3≥8,∴A正确.事实上,注意到a、b、c的无序性,并且16>8,若B成立,则A必然成立,排除B.故选A.17.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC,解得tanC=2.(2)由tanC=2,C∈(0,π)得sinC=,cosC=.又因为sinB=sin(A+C)=sin,所以sinB=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsinA=3,所以bc=6,故b=3.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.18.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asinB-bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=,由于0
0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsinA=.解法二:由正弦定理,得=,从而sinB=,又由a>b,知A>B,所以cosB=.故sin...
