多面体与球的内切和外接常见类型归纳(5页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。多面体与球的内切和外接常见类型归纳在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培育学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：一．正四面体与球如图所示，设正四面体的棱长为 a，r 为内切球的半径，R 为外接球的半径。则高 SE=a,斜高 SD=a，OE=r=SE-SO，又SD=BD,BD=SE-OE,则在 r=。R=SO=OB=特征分析：1．由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一个。2．R=3r. r= R=。此结论可以记忆。例题一。1、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）分析：借助结论，R===,所以 S=4=3 。CBDAOSEF2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ）分析：借助 R=3r，答案为 9：1。二、特别三棱锥与球四个面都是直角三角形的三棱锥。SA因为 SA AC，SB BC，球心落在 SC的中点处。所以 R=。三．正方体与球。1．正方体的外接球即正方体的 8 个定点都在球面上。关键找出截面图:ABCD 为正方体的体对角面。设正方体的边长为a，则 AB=a，BD=2R，AD=a，R=a。C2．正方体的内切球。（1）与正方体的各面相切。如图：ABCD 为正方SACOBOCBASAOBDBACDCD体的平行侧面的正方形。R=（2）与正方体的各棱相切。如图：大圆是正方形 ABCD 的外接圆。AB=CD=a，R=a。3．在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。例题：1。正方体的全面积是 24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是 解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则 R=，S=12 。2．一个球与棱长为 1 的正方体的 12 条棱都相切，则球的体积 解析：假如明确了上面的结论，问题很容易解决。R==1==V=3．将棱长为 1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为 ADBC解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。R= ，V=。4．P、A、B、C、是球 O 面上的四个点，PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=1，则球的体积是 解析：同过条件分析，可采纳把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的外接球，所以 R=，V=。四、正棱柱与球 1．正三棱柱外...
