幂法求解矩阵主特征值的加速方法摘要：本论文主要讨论的是幂法求解矩阵的主特征值和特征向量。物理、 力学和工程技术中有许多需要我们求矩阵的按模最大的特征值（及称为主 特征值）和特征向量。幂法是计算一个矩阵的模最大特征值和对应的特征 向量的一种迭代方法。它最大的优点是方法简单，适合于大型稀疏矩阵的 主特征值，但是收敛速度非常慢。所以我们要用加速的方法来加速收敛， 加速方法包括原点平移加速、Rayleigh 商加速和 Aitken 加速算法。关键词：幕法；原点平移加速；Rayleigh 商加速；Aitken 加速算法§1 引言我们来介绍矩阵特征值和特征向量的计算方法，大家知道求一个矩阵 的特征值的问题实质上是求一个多项式的根的问题，而数学上已经证明 5 阶以上的多项式的根一般不能用有限次运算求得。因此，矩阵特征值的计 算方法本质上都是迭代，而对于大型的稀疏矩阵就需要用幕法求解最简单。 但是由于收敛速度非常的慢所以我们需要用加速的方法加快收敛速度而本 次论文也是针对加速问题来通过对几种方法的讨论讨论。并且通过算法的 实现来说明那种加速算法收敛得快，哪个计算量比较节约。其实本文主要 讨论的问题是一个应用中常见的一类数值计算问题。§2 加速算法的背景2.1 幂法共 26 页 _ — 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第 2 页 ~~幂法是计算一个矩阵的模最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方 法。它适用于大型稀疏矩阵。对角化的，即 A 有如下分解 其中diag非奇异，再假定为了说明其基本思想我们先假设 A Cnn是可现任取一向量 u0.由于 X 的列向量构・成。的一组基，故 u 可表示为0由此可知1 . Aku lim----0k1k乂 ， 这里Aku0C.这样，我们有in AkxjjkXjjx11kx.j土这是 A的一个很好的近似特 k1征向量。然而，实际计算时，这是行不通的，其原因有二：一是我们事先这表明，当 1 0 而且 k充分大时，向量 u并不知道 A 的特征值 1 ；二是对充分大的 k 计算 Ak的工作量太大。所以找出 一种工作量较小的方法，而幂法求解收敛速度很慢所以我们还要找出一种加快速度的算法。迭代格式：y Aukk 1k是 y 的模最大重量， jk其中 U° Cn是任意给定的初始向量，通常要求||U』1.定理设 A Rn n有 n 个线性无关的特征向量，主特征值满足||||，则对任何非零初始向量 v U1 d 1 rno o列 u , v・••：k kvu0,vAu ,kk 1max(v ),k 1,2,k kvu 〜,•k...
