第2讲随机变量及其分布一、选择题1.已知箱子中共有6个球,其中红球、黄球、蓝球各2个.每次从该箱子中取1个球(有放回,每球取到的机会均等),共取三次.设事件A:“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”,事件B:“三次取到的球颜色都相同”,则P(B|A)=()A.B.C.D.1解析由题意知P(B|A)===.答案B2.(2015·邯郸模拟)某人射击一次击中目标的概率为,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为()A.B.C.D.解析该人3次射击,恰有两次击中目标的概率是P1=C··,三次全部击中目标的概率是P2=C·.所以此人至少有两次击中目标的概率是P=P1+P2=C··+C=.答案C3.(2015·南昌模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回的摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)等于()A.B.C.D.解析根据题目条件,每次摸到白球的概率都是p=,满足二项分布,则有E(X)=np=5×=3,解得m=2,那么D(X)=np(1-p)=5××=.答案B4.(2015·全国Ⅰ卷)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312解析该同学通过测试的概率为p=0.6×0.6+C×0.4×0.62=0.648.答案A二、填空题5.10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________.解析从10件产品中取4件,共C种取法,取到1件次品的取法为CC种,由古典概型概率计算公式得P===.答案6.(2015·杭州模拟)有三位同学过节日互赠礼物,每人准备一件礼物,先将礼物集中在一个袋子中,每人从中随机抽取一件礼物,设恰好抽到自己准备的礼物的人数为ξ,则ξ的数学期望E(ξ)=________.解析ξ的可能取值为0,1,3,P(ξ=0)==;P(ξ=1)==;P(ξ=3)==.E(ξ)=0×+1×+3×=1.答案17.(2015·广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=________.解析依题可得E(X)=np=30,且D(X)=np(1-p)=20,解得p=.答案8.(2015·衡水中学模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向右或向左,并且向右移动的概率是.质点P移动5次后,则该点只向右移动了一个单位的概率为________.解析质点P只能在左、右两个方向上移动,5次移动之后只向右移动了一个单位,所以有两次向左、三次向右移动,故所求事件的概率为P=C=.答案三、解答题9.(2015·唐山模拟)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口,在早高峰时间段,时常发生交通拥堵现象,交警部门统计11月份30天内的拥堵天数.东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天,15天,9天,15天.假设每个入口发生拥堵现象互相独立,视频率为概率.(1)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率;(2)设该城市一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数,求ξ的分布列及数学期望.解(1)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A、B、C、D,则P(A)==,P(B)==,P(C)==,P(D)==,设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M,则M=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD,则P(M)=×××+×××+×××+×××==.(2)ξ的可能取值为0,1,2,4,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)=,P(ξ=3)==,P(ξ=4)=.∴ξ的分布列为:ξ01234PE(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×==.10.(2015·豫西名校期末)某公司招聘员工,初试设置计算机、礼仪、专业技能、基本素质共四个科目的考试,要求专业技能、基本素质都要合格,且计算机、礼仪至少有一门合格,则能取得参加复试的资格.现有甲、乙、丙三个人报名参加初试,每一个人对这四门考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同(见下表),且每一门课程是否合格相互独立.科目基本素质专业技能计算机礼仪合格的概率(1)求乙取得参加复试的资格的概率;(2)记ξ表示三个人中取得复试的资格的人数,求ξ的分布列及期望E(ξ)、方差D(ξ).解(1)记“乙取得参加复试的资格”为事件A,则:P(A)=×=,故乙取得参加复试的资格的概率是.(2)据题意,三个人中取得复试的资格的人数ξ的取值分别为0,1,2,3,由题意可...