第2讲数列求和问题「考情研析」1.从具体内容上，高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想．2.从高考特点上，难度稍大，一般以解答题为主，分值约为7～8分．核心知识回顾常见的求和方法(1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列利用公式法求和时，一定注意□公比q是否取1.(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是□等差数列和等比数列．(3)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂项后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为□的数列的前n项和．(4)分组求和法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列□适当拆开，□重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．(5)并项求和法：当一个数列为摆动数列，形如□(－1)nan的形式，通常分□奇、偶，观察相邻两项是否构成新数列．热点考向探究考向1分组转化法求和例1(2019·天津南开区高三下学期一模)已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且a5＝3a2，S7＝14a2＋7.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{(－1)nbn(an＋bn)}的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的公差是d.由a5＝3a2得a1＋4d＝3(a1＋d)，化简得d＝2a1，①由S7＝14a2＋7得d＝a1＋1，②由①②解得a1＝1，d＝2.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列，得an＋bn＝2n－1，即2n－1＋bn＝2n－1.所以bn＝2n－1－2n＋1.所以(－1)nbn(an＋bn)＝(－1)n·2n－1·(2n－1－2n＋1)＝(－1)n4n－1＋(－2)n－1(2n－1)＝－(－4)n－1＋(2n－1)·(－2)n－1.∴Pn＝(－4)0＋(－4)1＋…＋(－4)n－1＝＝，Qn＝1·(－2)0＋3·(－2)1＋5·(－2)2＋…＋(2n－3)·(－2)n－2＋(2n－1)·(－2)n－1，③－2Qn＝1·(－2)1＋3·(－2)2＋5·(－2)3＋…＋(2n－3)·(－2)n－1＋(2n－1)·(－2)n，④③－④得3Qn＝1·(－2)0＋2·(－2)1＋2·(－2)2＋…＋2·(－2)n－1－(2n－1)·(－2)n＝1＋－(2n－1)·(－2)n＝－－·(－2)n.∴Qn＝－－·(－2)n.∴Tn＝－Pn＋Qn＝－＋－.若一个数列是由两个或多个等差、等比数列的和差形式组成，或这个数列可以分解成两个或多个等差、等比数列的和差形式，则可以根据数列的结构对原数列求和式的各部分重新组合，进而使用等差、等比数列的求和公式进行求和．解题的关键是观察结构、巧分组．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)令cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.解(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则由a1＝3，b1＝1及得解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.(2)由a1＝3，an＝2n＋1，得Sn＝n(n＋2)．则cn＝即cn＝T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)＝＋(2＋23＋…＋22n－1)＝1－＋＝＋(4n－1)．考向2裂项相消法求和例2(2019·甘青宁高三3月联考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a7＝5，S5＝－55.(1)求Sn；(2)设bn＝，求数列的前19项和T19.解(1) ∴∴Sn＝－19n＋×4＝2n2－21n.(2)设bn＝＝2n－21，则＝＝，故T19＝×＝×＝－.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和．适用于数列的求和，其中数列{an}是各项不为0的等差数列，c为常数．已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足Sn＋an＝2n＋1(n∈N*)．(1)求证数列{an－2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)求证：＋＋…＋<.解(1)因为Sn＋an＝2n＋1，①所以当n＝1时，a1＋a1＝2＋1，解得a1＝.当n≥2时，Sn－1＋an－1＝2(n－1)＋1，②由①－②，得an－an－1＋an＝2，即an＝an－1＋1，即an－2＝(an－1－2)，所以数列{an－2}是等比数列，其首项为a1－2＝－，公比为，所以an－2＝－n，所以an＝2－n.(2)证明：＝＝－，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝－<.考向3错位相减法求和例3(2019·东北三省三校高三二模)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2＋2n，等比数列{bn}的公比为4，且a2＝5b1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公...
