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高考数学二轮复习 专题五 第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题试题VIP免费

高考数学二轮复习 专题五 第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题试题_第1页
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第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题一、选择题1.(2015·广州模拟)已知椭圆+=1内有两点A(1,3),B(3,0),P为椭圆上一点,则|PA|+|PB|的最大值为()A.3B.4C.5D.15解析在椭圆中,由a=5,b=4,得c=3,故焦点为(-3,0)和(3,0),点B是右焦点,记左焦点为C(-3,0),由椭圆的定义得|PB|+|PC|=10,所以|PA|+|PB|=10+|PA|-|PC|,因为||PA|-|PC||≤|AC|=5,所以当点P,A,C三点共线时,|PA|+|PB|取得最大值15.答案D2.在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点,则k的取值范围为()A.B.C.D.∪解析由已知可得直线l的方程为y=kx+,与椭圆的方程联立,整理得x2+2kx+1=0,因为直线l与椭圆有两个不同的交点,所以Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>,即k的取值范围为∪.答案D3.(2015·榆林模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是()A.(1,2)B.(1,2]C.(1,)D.(1,]解析因为双曲线的渐近线为y=±x,要使直线y=x与双曲线无交点,则直线y=x应在两渐近线之间,所以有≤,即b≤a,所以b2≤3a2,c2-a2≤3a2,即c2≤4a2,e2≤4,所以1<e≤2.答案B4.在直线y=-2上任取一点Q,过Q作抛物线x2=4y的切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过的点是()A.(0,1)B.(0,2)C.(2,0)D.(1,0)解析设Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为y=x2,则y′=x,则在点A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1),化简得y=x1x-y1;同理,在点B处的切线方程为y=x2x-y2.又点Q(t,-2)的坐标满足这两个方程,代入得-2=x1t-y1,-2=x2t-y2,则说明A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2=xt-y,即直线AB的方程为y-2=tx,因此直线AB恒过点(0,2).答案B5.(2014·湖北卷)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B.C.3D.2解析设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,由(2c)2=r+r-2r1r2cos,得4c2=r+r-r1r2.由得∴+==.令m====,当=时,mmax=,∴=,即+的最大值为.答案A二、填空题6.(2015·平顶山模拟)若双曲线x2-=1(b>0)的一条渐近线与圆x2+(y-2)2=1至多有一个公共点,则双曲线离心率的取值范围是________.解析双曲线的渐近线方程为y=±bx,则有≥1,解得b2≤3,则e2=1+b2≤4,得1<e≤2.答案(1,2]7.(2015·成都模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆上一点M作直线MA,MB分别交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1·k2的值为________.解析由e2=1-=,得=,设M(x,y),A(m,n),B(-m,-n),则k1·k2=·=,①把y2=b2,n2=b2代入①式并化简,可得k1·k2=-.答案-8.抛物线y2=8x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(-2,0),则的最大值为________.解析由点P(x,y)在抛物线y2=8x上,得y2=8x(x≥0).由抛物线的定义可得|PF|=x+2,又|PA|==,所以===.当x=0时,=1;当x≠0时,=,因为x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,故x++4≥8,0<≤1,所以∈(1,].综上,∈[1,].所以的最大值为.答案三、解答题9.(2015·南阳模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为.过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)求OA·OB的取值范围;(3)若B点关于x轴的对称点是N,证明:直线AN恒过一定点.(1)解易知b=1,e==得a2=2c2=2a2-2b2,故a2=2.故方程为+y2=1.(2)解设l:y=k(x-2),与椭圆C的方程联立,消去y得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.由Δ>0得0≤k2<.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.∴OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2==5- 0≤k2<,∴<≤7,故所求范围是.(3)证明由对称性可知N(x2,-y2),定点在x轴上.直线AN:y-y1=(x-x1),令y=0得:x=x1-====1,∴直线AN过定点(1,0).10.已知椭圆M的对称轴为坐标轴,焦点是(0,)...

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