第3讲圆锥曲线的综合问题「考情研析」1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题．2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.核心知识回顾1.最值问题求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然后利用函数知识、基本不等式等知识求解其最值．2．范围问题求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”．不等式的来源可以是Δ>0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等．3．定点问题在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．4．定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．5．存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．热点考向探究考向1最值与范围问题角度1最值问题例1已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，点R(1，2)在抛物线C上．(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y＝2x＋2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．解(1) 点R(1,2)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，∴4＝2p，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝m(y－1)＋1，m≠0，由消去x并整理得y2－4my＋4(m－1)＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4(m－1)，设直线AR的方程为y＝k1(x－1)＋2，由解得点M的横坐标xM＝，又k1＝＝＝，∴xM＝＝－，同理点N的横坐标xN＝－，|y2－y1|＝＝4，∴|MN|＝|xM－xN|＝＝2＝8＝2，令m－1＝t，t≠0，则m＝t＋1，∴|MN|＝2≥，当t＝－2，即m＝－1时，|MN|取得最小值，此时直线AB的方程为x＋y－2＝0.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法．几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数法等)解决的．(2019·湘赣十四校高三联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左焦点为F1，点A是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，当直线AF1的斜率为1时，|AF1|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AF1与椭圆C的另外一个交点为B，点A关于x轴的对称点为A′，求△F1A′B面积的最大值．解(1)解法一： e＝＝，∴a2＝2c2，又a2＝b2＋c2，∴b＝c.∴当直线AF1的斜率为1时，直线AF1通过椭圆上的顶点，∴|AF1|＝＝a＝.又a2＝2c2，b＝c，∴b＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1.解法二：设椭圆的右焦点为F2，在△AF1F2中，|AF1|＝，|AF2|＝2a－，|F1F2|＝2c，∴(2a－)2＝2＋(2c)2－2··2c·cos45°，即a2－a＝c2－c.①又 e＝＝，∴a＝c.②联立①②，得a＝，c＝1，又a2＝b2＋c2，∴b＝1.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.解法三： e＝＝，∴a2＝2c2，又a2＝b2＋c2，∴a＝b＝c.∴椭圆C的方程可化为＋＝1，即x2＋2y2＝2c2.③又直线AF1的方程为y＝x＋c.④联立③④，得x2＋2(x＋c)2＝2c2，即3x2＋4cx＝0，∴x＝0或x＝－c.直线AF1的斜率为1且A在x轴上方，∴xA＝0，∴A的坐标为(0，b)．∴|AF1|＝＝a，∴a＝，又a＝b＝c，∴b＝c＝1.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)如图， A在x轴上方，∴直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my－1. F1，A′，B三点能构成三角形，∴直线AB不垂直于x轴，∴m≠0，设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则A′的坐标为(x1，－y1)．联立得(my－1)2＋2y2＝2，即(2＋m2)y2－2my－1＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－.解法一：S△F1A′B＝S△BAA′－S△F1AA′＝|AA′||x2－xF1|＝y1|x2＋1|＝y1|my2|＝|my1y2|＝＝≤＝，当且仅当＝|m|即|m|＝时取等号．∴△F1A′B面积的最大值为.解法二：直线A′B的...
