第3讲圆锥曲线的综合问题「考情研析」1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,考查范围、最值问题,定点、定值问题,探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法,对计算能力也有较高要求,难度较大.核心知识回顾1.最值问题求解最值问题的基本思路是选择变量,建立求解目标的函数解析式,然后利用函数知识、基本不等式等知识求解其最值.2.范围问题求参数范围的问题,牢记“先找不等式,有时需要找出两个量之间的关系,然后消去另一个量,保留要求的量”.不等式的来源可以是Δ>0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等.3.定点问题在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线的方程,不论参数如何变化,其都过某定点,这类问题称为定点问题.4.定值问题在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题.5.存在性问题的解题步骤(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在.热点考向探究考向1最值与范围问题角度1最值问题例1已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),点R(1,2)在抛物线C上.(1)求抛物线C的方程;(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A,B,若直线AR,BR分别交直线l:y=2x+2于M,N两点,求|MN|最小时直线AB的方程.解(1) 点R(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,∴4=2p,解得p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=m(y-1)+1,m≠0,由消去x并整理得y2-4my+4(m-1)=0,∴y1+y2=4m,y1y2=4(m-1),设直线AR的方程为y=k1(x-1)+2,由解得点M的横坐标xM=,又k1===,∴xM==-,同理点N的横坐标xN=-,|y2-y1|==4,∴|MN|=|xM-xN|==2=8=2,令m-1=t,t≠0,则m=t+1,∴|MN|=2≥,当t=-2,即m=-1时,|MN|取得最小值,此时直线AB的方程为x+y-2=0.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数,通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数法等)解决的.(2019·湘赣十四校高三联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左焦点为F1,点A是椭圆C上位于x轴上方的一个动点,当直线AF1的斜率为1时,|AF1|=.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线AF1与椭圆C的另外一个交点为B,点A关于x轴的对称点为A′,求△F1A′B面积的最大值.解(1)解法一: e==,∴a2=2c2,又a2=b2+c2,∴b=c.∴当直线AF1的斜率为1时,直线AF1通过椭圆上的顶点,∴|AF1|==a=.又a2=2c2,b=c,∴b=1,椭圆C的方程为+y2=1.解法二:设椭圆的右焦点为F2,在△AF1F2中,|AF1|=,|AF2|=2a-,|F1F2|=2c,∴(2a-)2=2+(2c)2-2··2c·cos45°,即a2-a=c2-c.①又 e==,∴a=c.②联立①②,得a=,c=1,又a2=b2+c2,∴b=1.∴椭圆C的方程为+y2=1.解法三: e==,∴a2=2c2,又a2=b2+c2,∴a=b=c.∴椭圆C的方程可化为+=1,即x2+2y2=2c2.③又直线AF1的方程为y=x+c.④联立③④,得x2+2(x+c)2=2c2,即3x2+4cx=0,∴x=0或x=-c.直线AF1的斜率为1且A在x轴上方,∴xA=0,∴A的坐标为(0,b).∴|AF1|==a,∴a=,又a=b=c,∴b=c=1.∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)如图, A在x轴上方,∴直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my-1. F1,A′,B三点能构成三角形,∴直线AB不垂直于x轴,∴m≠0,设A的坐标为(x1,y1),B的坐标为(x2,y2),则A′的坐标为(x1,-y1).联立得(my-1)2+2y2=2,即(2+m2)y2-2my-1=0,∴y1+y2=,y1y2=-.解法一:S△F1A′B=S△BAA′-S△F1AA′=|AA′||x2-xF1|=y1|x2+1|=y1|my2|=|my1y2|==≤=,当且仅当=|m|即|m|=时取等号.∴△F1A′B面积的最大值为.解法二:直线A′B的...