第2讲导数及其应用「考情研析」1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.核心知识回顾1.导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在□x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即k＝□f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为□y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的单调性(1)在某个区间(a，b)内，如果□f′(x)＞0(f′(x)<0)，那么函数y＝f(x)在这个区间内□单调递增(单调递减)．(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：①确定函数□f(x)的定义域；②求□导数f′(x)；③在函数f(x)的定义域内□解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；④根据③的结果确定函数f(x)的□单调区间．3．导数与极值函数f(x)在x0处的导数□f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“□左正右负”⇔f(x)在x0处取得□极大值；函数f(x)在x0处的导数□f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“□左负右正”⇔f(x)在x0处取得□极小值．4．求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤(1)求函数y＝f(x)在[a，b]内的□极值；(2)比较函数y＝f(x)的□各极值与□端点处的函数值□f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．热点考向探究考向1导数的几何意义例1(1)(2019·唐山市高三第二次模拟)已知函数f(x)＝为奇函数，则f(x)在x＝2处的切线斜率等于()A．6B．－2C．－6D．－8答案B解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝x2－2x，又f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，则f′(2)＝－2，故选B.(2)设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()A．ln2－1B．ln2－2C．2ln2－1D．2ln2－2答案A解析设切点坐标为(x0，lnx0)，则＝，即x0＝2，∴切点坐标为(2，ln2)，又切点在直线y＝x＋b上，∴ln2＝1＋b，即b＝ln2－1.(3)已知曲线y＝x3＋，则曲线在点P(2,4)处的切线方程为_____________；曲线过点P(2,4)的切线方程为__________________________．答案4x－y－4＝04x－y－4＝0或x－y＋2＝0解析① P(2,4)在曲线y＝x3＋上，y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.②设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋. 点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.函数在某点的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率，这是导数的几何意义，所以与导数有关的问题常涉及求导数、求斜率、求切点坐标、求切线方程、求参数值等．注意切点既在原函数的图象上又在切线上这一条件的应用．1．(2019·南阳市六校高二下学期第一次联考)曲线y＝ex上的点到直线y＝x－2的最短距离是()A.B．2C．D．1答案C解析设与y＝x－2平行的直线与y＝ex相切，则切线斜率k＝1. y＝ex，∴y′＝ex，由y′＝ex＝1得x＝0，当x＝0时，y＝e0＝1，即切点坐标为(0,1)，则点(0,1)到直线y＝x－2的距离是曲线y＝ex上的点到直线y＝x－2的最短距离， 点(0,1)到直线的距离为d＝＝，∴曲线y＝ex上的点到直线l：y＝x－2的距离的最小值为，故选C.2．若点P是函数f(x)＝x2－lnx上任意一点，则P到直线x－y－2＝0的最小距离为()A.B．C．D．3答案B解析由f′(x)＝2x－＝1得x＝1(负值舍去)，故曲线f(x)＝x2－lnx上切线斜率为1的切点是(1,1)，所以点P到直线x－y－2＝0的最小距离为＝，故选B.3．(2019·山西大学附属中学高二下学期模块诊断)函数f(x)＝ax2＋sinx的图象在x＝处的切线方程为y＝x＋b，则b的值为()A．1＋B．1－C．1＋D．1－答案B解析 f(x)＝ax2＋sinx，∴f′(x)＝2ax＋cosx.由题意，得f′＝2a×＋cos＝aπ＝1，解得a＝，∴f(x)＝x2＋sinx.∴当x＝时，f＝×2＋sin＝＋1，故切点坐标为，将切点坐标代入切线方程得＋1＝＋b，解得b＝1－.故选B.考向2利用导数研究函数的单调性例2(1)已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是()A.和(1，＋...
