第3讲导数的热点问题「考情研析」利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数的零点、方程的根及不等式相结合，难度较大．解题时要注意分类讨论思想和转化与化归思想的应用.核心知识回顾1.利用导数解决与函数有关的方程根的问题(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路：①将问题转化为函数□零点的个数问题，进而转化为函数图象□交点的个数问题；②利用导数研究该函数在给定区间上的□单调性、□极值(最值)、□端点值等；③画出函数的□大致图象；④结合图象□求解．(2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤：①在该区间上构造与方程□相应的函数；②利用导数研究该函数在该区间上的□单调性；③判断该函数在该区间端点处的□函数值异号；④作出结论．2．利用导数证明不等式不等式的证明可转化为利用导数研究函数的□单调性、□极值和□最值，再由□单调性或最值来证明不等式，其中构造一个□可导函数是用导数证明不等式的关键.热点考向探究考向1利用导数讨论方程根的个数例1(2019·广东省七校联合体高三联考)已知函数f(x)＝ln－ax＋(a>0，b>0)，对任意x>0，都有f(x)＋f＝0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)存在三个不同的零点时，求实数a的取值范围．解(1)由f(x)＋f＝ln－ax＋＋ln－＋＝0，得b＝4a，则f(x)＝ln－ax＋，f′(x)＝－a－＝(x>0)，若Δ＝1－16a2≤0，即a≥时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，若Δ＝1－16a2>0，即0
0，x2＝>0，又h(x)＝－ax2＋x－4a开口向下．当00，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>x2时，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上所述，当a≥时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当0f(2)＝0.f(x)＝ln－ax＋，f＝－ln2a2－＋4a3，令g(a)＝－ln2a2－＋4a3，g′(a)＝－＋＋12a2＝.令m(a)＝12a4－2a＋1，m′(a)＝48a3－2单调递增．由m′(a)＝48a3－2＝0，求得a0＝>.当0m＝－＋1>0，f＝g(a)＝－ln2a2－＋4a3在上单调递增．故f＝g(a)0，>x2，由零点存在性定理知f(x)在区间上有一个根，设为x0，又f(x0)＋f＝0，得f＝0，由x20时，求函数f(x)在区间(1，e2)内的零点个数．解(1) f(x)＝2alnx－x2，∴f′(x)＝， x>0，当a≤0时，f′(x)＝<0，当a>0时，f′(x)＝＝，当00；当x>时，f′(x)<0，∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．(2)由(1)，得f(x)max＝f()＝a(lna－1)，当a(lna－1)<0，即00，即a>e时，由于f(1)＝－1<0，f()＝a(lna－1)>0，f(e2)＝2alne2－e4＝4a－e4＝(2－e2)(2＋e2)，若2－e2<0，即e，f(e2)≥0，且f()＝2aln－e＝a－e>0，f(1)＝－1<0，由函数的单调性可知f(x)在(1，)内有唯一的零点，在(，e2)内没有零点，从而f(x)在(1，e2)内只有...
