人教版 七年级上阶段拔尖专训 11 几何计数的常见类型 按顺序计数问题1. (1) 如图①，直线 l 上有 2 个点，则图中有 2 条可用图中字母表示的射线，有 1 条线段；123(2) 如图②，直线 l 上有 3 个点，则图中有 条可用图中字母表示的不同射线，有 条线段；4 3 【点拨】 (2) 不同射线有射线 A1 A2 ，射线 A2 A3 ，射线 A2 A1 ，射线 A3 A1 ，共 4 条，线段有线段 A1 A2 ，线段 A1 A3 ，线段 A2 A3 ，共 3 条 .123(3) 如图③，直线 l 上有 n 个点，则图中有 条可用图中字母表示的不同射线，有 条线段；【点拨】(2 n － 2) (3) 根据规律，射线是每个点用两次，但第一个点和最后一个点只用一次， n 为直线上的点数，可得不同射线有 (2 n － 2) 条；线段是从所有点中任取两个，所以有 n 个点的直线上有线段 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋ ( n － 1) ＝ ( 条 ).123(4) 应用 (3) 中发现的规律解决问题：某校七年级共有 6 个班进行足球比赛，准备进行循环赛 ( 即每两个班之间赛一场 ) ，预计全部赛完共需 场比赛 .【点拨】15 (4) 假设 6 个班为一条直线上的 6 个点，则计算直线上的线段数，代入即可求得结果为 ＝ 15.123 平面内直线相交所得交点与平面的计数问题2. 为了探究同一平面内的 n 条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成多少部分，我们从最简单的情形入手，如图所示 .123直线条数最多交点的个数把平面最多分成的部分数102214337………列表如下：123(1) 当直线条数为 5 时，最多有 个交点，可写成和的形式为 ；把平面最多分成 部分，可写成和的形式为 .(2) 当直线条数为 10 时，最多有 个交点，把平面最多分成 部分 .10 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 16 1 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 45 56 123(3) 当直线条数为 n 时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？【解】当直线条数为 n 时，最多有 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋ ( n － 1) ＝ ( 个 ) 交点，把平面最多分成 1 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋ n ＝ 部分 .123 有关角的个数的计数问题3. 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点 . 以∠ BAC 的顶点 A 为端点：(1) 如图①，在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？【解】图中一共有 3 个角 .123(2) 如图②，在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？【解】图中一共有 6 个角 .(3) 如图③，在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？【解】图中一共有 10 个角 .123(4) 在角的内部作 n 条射线，那么一共有几个角？【解】如果在角的内部作 n 条射线，那么共有 1 ＋ 2 ＋ 3＋…＋ n ＋ ( n ＋ 1) ＝ ( 个 ) 角 .123
