相似三角形－-----射影定理得推广及应用射影定理就就是平面几何中一个很重要得性质定理,尽管义务教材中没有列入,但在几何证明及计算中应用很广泛,若能很好地掌握并灵活地运用它,常可取到事半功倍得效果。一般地,若将定理中得直角三角形条件非直角化,亦可得到类似得结论,而此结论又可作为证明其它命题得预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用,定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时,“柳暗花明又一村”地迎刃而解。一、射影定理 射影定理 直角三角形斜边上得高就就是它分斜边所得两条线段得比例中项;且每条直角边都就就是它在斜边上得射影与斜边得比例中项。 如图(1):Rt△ＡＢ C 中,若ＣＤ为高,则有 CD2=Ｂ D•A Ｄ、ＢＣ 2=BD•A Ｂ或Ａ C ２＝Ａ D•A Ｂ。二、变式推广 １、逆用 如图（１)：若△A ＢＣ中,Ｃ D 为高,且有 DC2=Ｂ D•ＡＤ或 A Ｃ２=Ａ D•Ａ B 或 B Ｃ 2＝BＤ•AB,则有∠ＤＣＢ=∠Ａ或∠ACD＝∠Ｂ,均可等到△A ＢＣ为直角三角形。 ２、一般化,若△Ａ B Ｃ不为直角三角形,当点 D 满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。(后文简称:射影定理变式(2)) 如图(２):△ABC 中，D 为 AB 上一点,若∠Ｃ DB=∠A Ｃ B,或∠DCB＝∠A,则有△CDB∽△A Ｃ B,可得Ｂ C ２＝B Ｄ•Ａ B;反之,若△ＡＢ C 中,D 为ＡＢ上一点,且有ＢＣ 2＝Ｂ D•Ａ B，则有△Ｃ DB∽△ACB,可得到∠ＣＤＢ=∠Ａ CB,或∠DCB＝∠Ａ。三、应用例 1 如图(３)，已知：等腰三角形 AB Ｃ中，AB=ＡＣ,高ＡＤ、B Ｅ交于点 H,求证:４ D Ｈ•D Ａ＝Ｂ C2分析: 易证∠B Ａ D=∠Ｃ AD=9 ０ 0-∠C=∠HB Ｄ,联想到射影定理变式(2),可得 BD ２＝D Ｈ•DA,又B Ｃ=２ BD,故有结论成立。(证明略)例２ 如图（４)：已知⊙O 中,D 为弧 A Ｃ中点，过点 D 得弦 B Ｄ被弦 AC 分为 4与 12 两部分，求 DC。 分析:易得到∠DBC＝∠Ａ B Ｄ=∠D ＣＥ,满足射影定理变式(2)得条件,故有 CD ２=DE•D Ｂ,易求得ＤＣ＝８ (解略)例 3 已知:如图(5),△AB Ｃ中,AD 平分∠BA Ｃ，Ａ D 得垂直平分线交 AB 于点Ｅ,交 AD 于点Ｈ，交Ａ C 于点 G,交Ｂ C 得延长线于点Ｆ, 求证：ＤＦ 2＝ＣＦ•Ｂ F。 证明:连 AF, Ｆ H 垂直平分 AD, ∴F Ａ=ＦＤ, ∠FA Ｄ＝∠F Ｄ A, AD 平分∠ＢＡ C,∴∠CAD=∠Ｂ AD， ∴∠FA Ｄ－∠CA Ｄ=∠F ＤＡ－∠BAD， ∠Ｂ...
