第六讲 能被 3 ０以下质数整除得数得特征 大家知道，一个整数能被 2 整除,那么它得个位数能被 2 整除；反过来也对，也就是一个数得个位数能被 2 整除,那么这个数本身能被 2 整除、因此，我们说“一个数得个位数能被 2 整除”是“这个数能被 2 整除”得特征、在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立得等式来导出能被这些质数整除得数得特征。 为了叙述方便起见，我们把所讨论得数 N 记为: 有时也表示为 我们已学过同余,用ｍ o ｄ 2 表示除以 2 取余数、有公式： ①Ｎ≡a0（mod2） ②Ｎ≡a1a0(mod4） ③ N≡a2a1a0（mod8） ④N≡ａ３ａ 2 ａ 1a ０（ｍｏ d1 ６） 这几个公式表明一个数被 2（4，8，16)整除得特性，而且表明了不能整除时，如何求余数。 此外,被３(9）整除得数得特征为：它得各位数字之和可以被３(９)整除、我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下、如（ｍod9）,假如， N=ａ 3a ２ａ 1a ０=a3×1000＋ａ 2×10 ０＋a1×10＋a0 ＝ａ３×（99 ９＋1）＋ａ 2×(99+1）＋a1×（9＋1）+ａ 0 =(a3+a2+a １+a ０）+（a ３×99 ９+a2×99+a １×9)， 那么，等式右边第二个括号中得数是 9 得倍数，从而有 N≡a3＋ａ 2+ａ１+a0（m ｏｄ９） 对于 mo ｄ 3，理由相仿,从而有公式： ⑤ N≡（…＋a3＋ａ 2+a1＋ａ 0）(mo ｄ 9), N≡(…＋a3+ａ２＋ａ 1＋a0)(mod3)。 对于被 11 整除得数，它得特征为:它得奇位数字之和与偶位数字之和得差(大减小）能被 1 １整除。 先看一例、N=3 １４ 2 ８５ 7 ６，改写 N 为如下形式： N=6＋７(11－1）+5(９ 9＋1）＋8(1 ０ 0 １—1)+2(999 ９+１）＋４（100 ０ 01-１)+1（９ 9 ９９ 99+1）+3(100 ００ 001—１) ＝6－7＋5—8+2－4＋1－3＋7×1 １+5×99+８×１ 001＋2×99 ９9+4×１ 00 ０ 01＋１×999999+3×。 由于下面这两行里，11、9 ９、1001、9999、1000 ０１、9999 ９9、都是 11 得倍数,所以 Ｎ=６—7+5—８＋２—4+1—3（mod11）。 小学生在运算时，碰上“小减大”无法减时，可以从上面 N 得表达式最后一行中“借用”11 得适当倍数(这样,最后一行仍都是 11 得倍数）,把它加到“小减大"得算式中,这样就得到： Ｎ≡11+6—７＋5-8＋２-4＋1-３≡3（mod11）. 现在总结成一般性公式（推理理由与例题相仿）、 则 N≡（a0-a １＋a2—a3+a ４—a5＋a6—a7+…）（mod11)...
