恒成立问题求解策略 恒成立问题能够很好的考察函数不等式等知识以及转化化归等数学思想，因此备受命题者青睐。本文试将此类题的求解策略作一总结，供同学们参考。策略一、确定主元，借助函数单调性解决。例1、对于满足|p| 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。分析：多元不等式问题求解关键在于确定哪个量为主元。此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论。然而若将 p 定位主元，则可转化为在[-2，2]内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题。解：不等式转化为(x-1)p+x2-2x+1>0,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原题转化为设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1＞0 在[-2，2]上恒成立易得 即解得：∴x<-1 或 x>3.策略二、转化为二次函数，利用实根分布解决。例2、不等式 sin x＋acosx＋ a1＋cosx 对一切 xR 恒成立，求负数 a 的取值范围。 解：原不等即 cos x＋（1－a）cosx－a0 令 cosx=t，由 xR 知 t[-1，1]， 设 f(t)=t ＋（1－a）t－a则原题转化为 f(t)=t ＋（1－a）t－a0 在 t[-1，1]上恒成立易得 a -2 故所求的 a 的范围为(- ,-2].策略三、分离变量，借助不等式性质解决。例 3．已知数列中，，设， 是数列的前 n 项和，求使得对所有都成立的最小正整数 m。（06 湖北卷）分析： ＜恒成立<=>＞max 问题转化为求的最大值。若求出的最大值，则问题迎刃而解。解：依题可知，故=。易知∴ 要使﹤恒成立，必须满足≤，即 m≥10。例 4、设恒成立,求 n 的最大值。分析:由于不等式等价于要使原不等式恒成立,就要使的最小值不小于 n.【解】:∵ ∴ = ∴∵的最大值 4.策略四、数形结合，直观求解。 例 5、不等式(x-1)2
1, 且 loga2≥1。1
