复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结复变函数积分方法总结 [键入文档副标题] acer [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有原来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作 x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为 A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2… nn)上任取一点?k 并作和式 Sn= nk?1f(???)(zk-zk-1)= k?1f(???)?zk 记 ?zk= zk- zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 δ=1max{?Sk}(k=1,2…,n),当 δ→0≤k≤n 时，不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为函数 f(z)沿曲线 C 的积分为： n f(z)dz=limδ 0k?1f(?)?zk ??c 设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作) f(z)dz.当 C 为闭曲线时，f(z)c?的积分记作 f(z)dz (C 圆周正方向为逆时针方向) c 例题：计算积分 1) dz 2) 2zdz,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲线。 cc（1） 解：当 C 为闭合曲线时， dz=0. c 2 f(z)=1 Sn= nk?1f(???)(zk-zk-1)=b-a ∴limn 0 Sn=b-a,即 1) dz=b-a. c (2)当 C 为闭曲线时， dz=0. f(z)=2z;沿 C 连续，则积分 zdz 存 cc 在，设?k=zk-1,则 ∑1= nk?1Z（k?1）(zk-zk-1) 有可设?k=zk，则 ∑2= nk?1Z（k?1）(zk-zk-1) 因为 Sn 的极限存在，且应与∑1 及∑2 极限相等。所以 22 22 Sn= (∑1+∑2)= nz(z?z)=b-akk?1k?1k 22 ∴ 2zdz=b-ac 1.2 定义衍生 1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入 f(z)dz 得： c f(z)dz= udx - vdy + i vdx + udy ccc 再设 z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t≤β) β dt f(z)dz=f(z(t))z(t) cα 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π) 例题 1： 0 3+i2 zdz 积分路线是原点到 3+i 的直线段 解：参数方程 z=（3+i）t 0 3+...