多项式得最大公因式问题:(一)、 多项式得最大公因式得定义就是什么？ 设与就是中两个多项式,中多项式称为与得最大公因式,假如满足下面两个条件:(1)、就是与得公因式;(2)、,得公因式全就是得因式。我们约定用表示首项系数为 1 得那个最大公因式。定理 1:对于中任意两个多项式,,在中存在一个最大公因式,且可以表示成,得一个组合,即有中多项式,使引理:设,且则有相同得公因式,因而有相同得最大公因式,且定理 2:得任意两个多项式一定存在最大公因式。(二)、用来求最大公因式得方法(1)、辗转相除法:假如,且,使其中,则就是与得一个最大公因式。(2)、串位加减法(3)、矩阵求法:例 1、设 求解:法 1 辗转相除法。求得就是最大公因式,即法 2 串位加减法设,则对于任意多项式1 3 1 4 33 10 2 31 5 9 95 25 301 5 65 16 39 27361 3+x0于就是就是最大公因式,即例 2.令 F 就是有理数域,求出得多项式使得成立得,其中。解 我们把 I 拼在得右边一起做行初等变换:。所以。注:假如就是,在中得公因式,则就是与得最大公因式得充分必要条件就是存在,使得例 3、求使:(P45,6、(1))解:,其中,,其中,,其中,所以,就是得最大公因式。因为,,所以由此可得:注:利用辗转相除法求出最大公约数,然后逆向推导。例 4.证明:假如,且为与得一个组合,那么就是与得一个最大公因式。(P45,8)证:设就是与得任一公因式,即有不妨设 由已知条件可得所以 故有 因此,就是与得一个最大公因式。注:已知就是与得任一公因式,只需证明与得任一公因式都就是得公因式便可得证。
