倒立摆系统的建模及 Matlab 仿真1
系统的物理模型 考虑如图(1)所示的倒立摆系统
图中，倒立摆安装在一个小车上
这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题
图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下
摆杆的质量：m=0
1g摆杆的长度：l=1m小车的质量：M=1kg重力加速度：g=9
8m/摆杆的质量在摆杆的中心
设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 ≤10%，调节时间 ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置
系统的数学模型2
1 建立倒置摆的运动方程并将其线性化
为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦
设小车瞬时位置为 z,摆心瞬时位置为（）,在 u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与 u 平衡，于是有即： ①绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有即： ②以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理
由于控制的目的是保持倒立摆直立，在试驾合适的外力条件下，假定 θ 很小，接近于零时合理的，则，且可忽略项
于是有 ③ ④联立求解可得2
2 列写系统的状态空间表达式
选取系统变量， 则即代入数据计算得到：3
设计控制器3
1 推断系统的能控性和稳定性，rank()=4,故被控对象完全可控由特征方程 解得特征值为 0，0，
出现大于零的特征值，故被控对象不稳定3
2 确定希望的极点希望的极点 n=4，选其中一对为主导极点和，另一对为远极点，认为系统性能主要由主导极点决定，远极点只有微小影响
根据二阶系统的关系式，先确定主导极点可得，于是取；取误差带，则，闭环主导极点为=-10
8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离的 5 倍，取3
3 采纳状态反馈方法使系统稳定并配置极点状
